数学

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数学歴史et数学の定義

数学（ギリシャ語から：μάθημα、máthēma、「知識、研究、学習」）には、量（数論）、[1] 構造（代数）、[2] 空間（幾何学）、[1]、変更（分析）。[3] [4] [5]一般的に受け入れられている定義はありません。[6] [7]

ギリシャの数学者 ユークリッド（キャリパーを持って いる）、紀元前3世紀、ラファエロがアテナイの学堂（1509–1511） からこの詳細 を想像した [a]

数学者はパターン[8] [9]を探して使用し、新しい予想を立てます。それらは、数学的な証明によってそのような真実または虚偽を解決します。数学的構造が実際の現象の優れたモデルである場合、数学的推論を使用して、自然についての洞察または予測を提供できます。抽象化と論理の使用を通じて、数学は、カウント、計算、測定、および物理的なオブジェクトの形状と動きの体系的な研究から開発されました。実用的な数学は、書かれた記録が存在する限り、人間の活動でした。研究数学の問題を解決するために必要なは、何年か、持続的な問い合わせのさえ世紀を取ることができます。

厳格な引数が最初に登場したギリシャの数学で最も顕著なのは、ユークリッドの要素。[10]の先駆的な仕事ので、ジュゼッペ・ペアノ（1858年から1932年）、デビッド・ヒルベルト（1862年から1943年）、およびその他の後半19世紀における公理のシステムで、それがで真実を確立するなどの数学的な研究を表示することが通例となっている厳格な 控除から適切に選択された公理と定義。数学は、新しい科学的発見と相互作用する数学的革新が今日まで続いている数学的発見の速度の急速な増加につながったルネッサンスまで、比較的遅いペースで発展しました。[11]

数学は、自然科学、工学、医学、金融、社会科学など、多くの分野で不可欠です。応用数学は、統計学やゲーム理論など、まったく新しい数学の分野につながりました。数学者は、応用を考えずに純粋数学（それ自体が数学）に取り組んでいますが、純粋数学として始まったものの実用的な応用は、後で発見されることがよくあります。[12] [13]

数学の歴史は、増え続ける一連の抽象化として見ることができます。多くの動物に共通する最初の抽象化[14]は、おそらく数の抽象化でした。たとえば、2つのリンゴのコレクションと2つのオレンジのコレクション（たとえば）には共通点、つまりメンバーの数があるという認識です。

骨に見られる集計から明らかなように、先史時代の人々は、物理的な物体を数える方法を認識することに加えて、時間（日、季節、年）などの抽象的な量を数える方法も認識している可能性があります。[15] [16]

紀元前1800年のバビロニアの数学タブレットプリンプトン322。

より複雑な数学の証拠は、バビロニア人とエジプト人が算術、代数、幾何学を課税やその他の財務計算、建築と建設、天文学に使い始めた紀元前3000年頃まで現れません 。[17]メソポタミアとエジプトからの最も古い数学のテキストは、紀元前2000年から1800年までです。[18]多くの初期のテキストはピタゴラストリプルに言及しているので、推論によれば、ピタゴラス定理は基本的な数論幾何学に次ぐ最も古く、広く普及している数学的発展であるように思われます。[19]それはであるバビロニア数学ことを基本演算（加算、減算、乗算および除算が）最初の考古学的記録に現れます。バビロニアもプレース値システムを有し、使用60進数字システム[19]角度と時間を測定するための現在使用中です。[20]

アルキメデスは、取り尽くし法を使用して 、円周率の値を概算しました 。

紀元前6世紀にピタゴラス教徒とともに始まり、ギリシャの数学とともに、古代ギリシャ人はそれ自体が主題として数学の体系的な研究を開始しました。[21]紀元前300年頃、ユークリッドは、定義、公理、定理、および証明からなる、今日でも数学で使用されている公理的方法を導入しました。彼の著書「Elements」は、これまでで最も成功し、影響力のある教科書と広く見なされています。[22]古代の最も偉大な数学者は、しばしばシラキュースのアルキメデス（紀元前287年から212年頃）であるとされています。[23]彼は、表面積と体積の計算式を開発した回転の固体を、使用消耗方法を算出する領域を円弧下放物線と無限級数の総和の方法で、近代的な計算からあまりにも異なるありません。[24]ギリシャ数学の他の注目すべき成果は、円錐曲線（ペルガのアポロニウス、紀元前3世紀）、[25] 三角法（ニカエアのヒッパルコス、紀元前2世紀）、[26]および代数の始まり（ディオファントゥス、紀元前3世紀）です。 ）。[27]

紀元前2世紀から紀元前2世紀までのバクシャーリー写本で使用されている数字 。

ヒンズー教アラビア数字システム世界中で使用されている事業の利用、今日のためのルール、最初の千年紀のADにわたって進化インドに伝達された西洋の世界を通じてイスラム数学。[28]インドの数学の他の著しい発展は、近代的な定義との近似含ま正弦と余弦、[28]との初期の形無限級数を。

al-Khwārizmīの代数からのページ

中にイスラムの黄金時代、特に9日と10世紀の間に、数学はギリシャの数学に構築する多くの重要な技術革新を見ました。イスラム数学の最も注目すべき成果は、代数の開発でした。イスラム時代の他の成果には、球面三角法の進歩とアラビア記数法への小数点の追加が含まれます。[29] [30]この時代の著名な数学者の多くは、アル・クワリスミ、オマール・ハイヤーム、シャラフ・アル・ディン・アル・Ṭūsīなどのペルシア人でした。

期間中近世、数学はで加速ペースで開発を始めた西ヨーロッパ。17世紀のニュートンとライプニッツによる微積分の開発は数学に革命をもたらしました。[31] レオンハルト・オイラーは18世紀で最も著名な数学者であり、多くの定理と発見に貢献しました。[32]おそらく、19世紀の最も重要な数学者はドイツの数学者だったカール・フリードリヒ・ガウス、[33]などの分野に数多くの貢献作ら代数、解析、微分幾何学、行列理論、数論、および統計情報を。20世紀初頭、クルトゲーデルは不完全性定理を発表することで数学を変革しました。これは、一貫した公理システムが、算術を記述するのに十分強力である場合、証明できない真の命題を含むことを部分的に示しています。[34]

それ以来、数学は大幅に拡張され、数学と科学の間に実りある相互作用があり、両方の利益になりました。数学的発見は今日も続けられています。Mikhail B. Sevryukによると、アメリカ数学会紀要の2006年1月号で、「1940年（MRの運用の最初の年）以降にMathematicalReviewsデータベースに含まれる論文と本の数は現在1.9を超えています。毎年、100万、75,000を超えるアイテムがデータベースに追加されています。この海の作品の圧倒的多数には、新しい数学的定理とその証明が含まれています。」[35]

語源

数学という言葉は古代ギリシャ語の máthēma（μάθημα）に由来し、「学んだこと」[36]「何を知るか」、つまり「研究」と「科学」を意味します。「数学」という言葉は、古典時代でも「数学の研究」というより狭く、より技術的な意味を持つようになりました。[37]その形容詞はmathēmatikós（μαθηματικός）であり、「学習に関連する」または「スタジオ」を意味し、同様にさらに「数学」を意味するようになりました。特に、mathēmatikḗtékhnē（μαθηματικὴτέχνη ;ラテン語：ars mathematica）は「数学の芸術」を意味しました。

同様に、ピタゴラス教の2つの主要な考え方の1つは、mathēmatikoi（μαθηματικοί）として知られていました。これは、当時、現代的な意味での「数学者」ではなく「学習者」を意味していました。[38]

ラテン語、および1700年頃までの英語では、数学という用語は、より一般的には「数学」ではなく「占星術」（または「天文学」）を意味していました。意味は1500年から1800年頃に徐々に現在の意味に変わりました。これはいくつかの誤訳をもたらしました。たとえば、キリスト教徒は占星術師を意味する数学に注意する必要があるという聖アウグスティヌスの警告は、数学者の非難と誤解されることがあります。[39]

見かけ上の複数のフレンチ複数形のような英語のフォーム、レmathématiques（あまり一般的に使用される単数形の派生 ラmathématique）、ラテン語に戻り中性複数のMathematica（キケロギリシャの複数に基づいて）、mathēmatikátaの（τὰμαθηματικά）、で使用されるアリストテレス（384から322 BC）、及びおおよそ「数学的なすべてのもの」を意味、英語のみの形容詞借りというもっともらしいですが、数学（AL）を、形成され名詞数学新たに、パターンの後に物理学と形而上学ました、ギリシャ語から継承。[40]英語では、名詞の数学は単数の動詞を取ります。多くの場合、数学、または北米では数学に短縮されます。[41]

1世紀から4世紀にかけて、インドの数学者によって発明されたヒンドゥーアラビア数字体系を西洋に導入したイタリアの数学者、 レオナルドフィボナッチ。

数学には一般的に受け入れられている定義はありません。[6] [7] アリストテレスは数学を「量の科学」と定義し、この定義は18世紀まで普及していました。しかし、アリストテレスはまた、量だけに焦点を当てても、数学と物理学のような科学を区別できないかもしれないと述べました。彼の見解では、実例から「思考で分離可能な」特性としての抽象化と量の研究は、数学を際立たせています。[42]

19世紀、数学の研究が厳しくなり、群論や射影幾何学など、量や測定と明確な関係のない抽象的なトピックに取り組み始めたとき、数学者や哲学者はさまざまな新しい定義を提案し始めました。 。[43]

非常に多くのプロの数学者は、数学の定義に興味を持っていないか、それを定義できないと考えています。[6]数学が芸術であるか科学であるかについてのコンセンサスすらありません。[7]「数学は数学者がすることです」と言う人もいます。[6]

3つの主要なタイプ

今日の数学の定義の3つの主要なタイプは、論理主義者、直観主義者、および形式主義者と呼ばれ、それぞれが異なる哲学的思考の学校を反映しています。[44]すべてに重大な欠陥があり、広く受け入れられているものはなく、和解は不可能のようです。[44]

論理主義者の定義

論理学の観点からの数学の初期の定義は、ベンジャミン・パース（1870）の定義でした：「必要な結論を引き出す科学」。[45]でプリンキピア・マテマティカ、バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、として知られている哲学的なプログラム高度な論理主義を、そしてすべての数学的概念、文、および原則は完全で定義し、証明することができることを証明しようとした記号論理。数学の論理学者の定義は、ラッセル（1903）の「すべての数学は記号論理学です」です。[46]

直観主義者の定義

数学者LEJBrouwerの哲学から発展した直観主義者の定義は、特定の精神的現象を伴う数学を特定します。直観主義者の定義の例は、「数学は、構成を次々に実行することからなる精神的活動です」です。[44]直観主義の特徴は、他の定義によれば有効と見なされるいくつかの数学的アイデアを拒否することです。特に、他の数学の哲学では、構築できなくても存在を証明できるオブジェクトが許可されていますが、直観主義では、実際に構築できる数学的オブジェクトのみが許可されています。直観主義者はまた、排中律の法則を拒否します（すなわち、）。このスタンスは、実行可能な証明方法として矛盾によって証明の1つの一般的なバージョンを拒否することを強制しますが、つまり、 から 、彼らはまだ推測することができます から 。彼らのために、 よりも厳密に弱いステートメントです 。[47]

フォーマリストの定義

フォーマリストの定義は、その記号とそれらを操作するための規則で数学を識別します。Haskell Curryは、数学を単に「形式体系の科学」と定義しました。[48]正式なシステムは、シンボル、またはセットであるトークン、およびいくつかのルールトークンに結合される方法の式。フォーマルシステムでは、公理という言葉は「自明の真実」の通常の意味とは異なる特別な意味を持ち、特定のフォーマルシステムに含まれるトークンの組み合わせを指すために使用されます。システムのルール。

科学としての数学

数学者の王子として知られる カール・フリードリヒ・ガウス

ドイツの数学者カールフリードリヒガウスは、数学を「科学の女王」と呼んでいました。[49]最近では、マーカス・デュ・ソートイは数学を「科学の女王...科学的発見の背後にある主要な原動力」と呼んでいます。[50]哲学者カール・ポパーは、「ほとんどの数学理論は、物理学や生物学の理論と同様に、仮説-推論的である。したがって、純粋数学は、最近でも見られたよりも、推測である自然科学にはるかに近いことが判明した。 「」[51]ポッパーはまた、「経験によってテストできる場合にのみ、システムを経験的または科学的であると認める」と述べた。[52]

数人の著者は、数学は経験的証拠に依存していないため、科学ではないと考えています。[53] [54] [55] [56]

数学は、物理科学の多くの分野、特に仮定の論理的帰結の調査と多くの共通点を持っています。直観と実験は、数学と（他の）科学の両方における予想の定式化においても役割を果たします。実験数学は数学の中で重要性を増し続けており、計算とシミュレーションは科学と数学の両方でますます重要な役割を果たしています。

この問題に関する数学者の意見はさまざまです。多くの数学者[57]は、自分たちの領域を科学と呼ぶことは、その美的側面の重要性と、伝統的な7つの教養におけるその歴史を軽視することであると感じています。科学とのつながりを無視することは、数学とその科学および工学への応用との間のインターフェースが数学の多くの発展を推進しているという事実に目をつぶることであると感じる人もいます。[58]この視点の違いが現れる一つの方法は、数学が（芸術のように）作成されたのか（科学のように）発見されたのかに関する哲学的議論にある。実際には、数学者は通常、グロスレベルでは科学者とグループ化されますが、より細かいレベルでは分離されます。これは、数学の哲学で考慮されている多くの問題の1つです。[59]

アイザックニュートン（左）と ゴットフリートウィルヘルムライプニッツは微積分を開発しました。

数学はさまざまな種類の問題から生じます。最初、これらは商業、土地測定、建築、そして後に天文学で発見されました。今日、すべての科学は数学者によって研究された問題を示唆しており、多くの問題が数学自体の中で発生しています。たとえば、物理学者の リチャードファインマンは、数学的推論と物理的洞察の組み合わせを使用して量子力学の経路積分定式化を発明しました。今日の弦理論は、自然の4つの基本的な力を統合しようとする、まだ発展途上の科学理論であり、刺激を与え続けています。新しい数学。[60]

いくつかの数学は、それを刺激した領域にのみ関連し、その領域のさらなる問題を解決するために適用されます。しかし、多くの場合、1つの領域に触発された数学は、多くの領域で有用であることが証明され、数学の概念の一般的なストックに加わります。多くの場合、純粋数学と応用数学は区別されます。ただし、純粋数学のトピックには、暗号化の数論などのアプリケーションがあることがよくあります。

「最も純粋な」数学でさえ実用的であることがしばしば判明するというこの注目すべき事実は、物理学者のユージン・ウィグナーが「数学の不合理な有効性」と名付けたものです。[13]数学 の哲学者マーク・シュタイナーはこの問題について広範囲に書いていて、数学の適用可能性が「自然主義への挑戦」を構成することを認めています。[61]数学の哲学者メアリー・レンにとって、物理世界が宇宙の向こうに存在する非因果的な数学的実体の指示に従って行動するという事実は「幸せな偶然」です。[62]一方、一部の反実在論者にとって、数学的なものの間で獲得されるつながりは、宇宙の物体の間で獲得されるつながりを反映しているだけなので、「幸せな偶然」はありません。[62]

ほとんどの研究分野と同様に、科学時代の知識の爆発的増加により専門分野が生まれました。現在、数学には何百もの専門分野があり、最新の数学科目分類は46ページに及びます。[63]応用数学のいくつかの分野は、数学以外の関連する伝統と融合し、統計学、オペレーションズリサーチ、コンピューターサイエンスなど、それ自体が学問分野になっています。

数学に傾倒している人にとって、数学の多くには明確な美的側面があることがよくあります。多くの数学者は、数学の優雅さ、その本質的な美学、そして内面の美しさについて話します。シンプルさと一般性が評価されます。素数が無限に多いというユークリッドの証明のようなシンプルでエレガントな証明と、高速フーリエ変換のような計算を高速化するエレガントな数値的方法には美しさがあります。ある数学者の謝罪のGHハーディは、これらの美的考察はそれ自体で純粋数学の研究を正当化するのに十分であるという信念を表明しました。彼は、数学的美学に寄与する要因として、重要性、予期せぬこと、必然性、経済性などの基準を特定しました。[64]数学的研究は、しばしば数学的対象の重要な特徴を求めます。これらの特徴によってオブジェクトの特徴として表現された定理が賞です。特に簡潔で啓示的な数学的議論の例は、THEBOOKのProofsに掲載されています。

レクリエーション数学の人気は、数学の質問を解くことで多くの人が見つける喜びのもう1つの兆候です。そして、他の極端な社会では、哲学者は、数学の証明の性質など、数学の哲学に問題を見つけ続けています。[65]

レオンハルトオイラーは、今日使用されている数学表記の多くを作成し、普及させました。

今日使用されている数学表記のほとんどは、16世紀まで発明されませんでした。[66]それ以前は、数学は言葉で書かれており、数学的な発見を制限していた。[67] オイラー（1707–1783）は、今日使用されている表記法の多くを担当していました。現代の表記法は、専門家にとって数学をはるかに簡単にしますが、初心者はしばしばそれを気が遠くなるように感じます。Barbara Oakleyによると、これは、数学のアイデアが自然言語のアイデアよりも抽象的で暗号化されているという事実に起因する可能性があります。[68]人々がしばしば単語（牛など）をそれに対応する物理的オブジェクトと同一視できる自然言語とは異なり、数学記号は抽象的であり、物理的類似性を欠いています。[69]数学記号は、通常の単語よりも高度に暗号化されています。つまり、1つの記号でさまざまな操作やアイデアをエンコードできます。[70]

数学言語は初心者には理解しにくい場合があります。これは、or and onlyなどの一般的な用語でさえ、日常のスピーチよりも正確な意味を持ち、オープンやフィールドなどの他の用語は、特定の数学的なアイデアを指し、素人の意味。数学言語には、同相写像や可積分など、数学以外では意味のない多くの専門用語も含まれています。さらに、「if andonlyif」のiffなどの省略句は数学用語に属します。特別な表記法と技術的な語彙には理由があります。数学は日常のスピーチよりも正確さを必要とします。数学者は、この言語と論理の精度を「厳密」と呼んでいます。

数学的証明は基本的に厳密さの問題です。数学者は、体系的な推論によって公理から定理に従うことを望んでいます。これは、主題の歴史の中で多くの事例が発生した、誤った直感に基づく誤った「定理」を回避するためです。[b]数学に期待される厳密さのレベルは時間とともに変化しました。ギリシャ人は詳細な議論を期待していましたが、アイザックニュートンの時代には採用された方法はそれほど厳密ではありませんでした。ニュートンによって使用された定義に固有​​の問題は、19世紀の注意深い分析と正式な証明の復活につながるでしょう。厳密さを誤解することは、数学の一般的な誤解のいくつかの原因です。今日、数学者はコンピューター支援証明について議論を続けています。大規模な計算は検証が難しいため、使用するコンピュータプログラムに誤りがあると、そのような証明が誤っている可能性があります。[c] [71]一方、証明アシスタントは、手書きの証明では与えられないすべての詳細を検証することを可能にし、フェイト・トンプソンの定理のような長い証明の正確さの確実性を提供します。[d]

伝統的な考え方の公理は「自明の真実」でしたが、その概念には問題があります。[72]正式なレベルでは、公理は単なる記号の文字列であり、公理システムのすべての導出可能な式のコンテキストでのみ本質的な意味を持ちます。ヒルベルトのプログラムの目標は、すべての数学をしっかりとした公理に基づいて配置することでしたが、ゲーデルの不完全性定理によれば、すべての（十分に強力な）公理システムには決定不可能な公式があります。したがって、数学の最終的な公理化は不可能です。それにもかかわらず、数学は（その正式な内容に関しては）集合論内の公式にすべての数学的なステートメントまたは証明をキャストできるという意味で、いくつかの公理化における集合論に過ぎないと想像されることがよくあります。[73]

そろばんは、古くから使用される単純な計算ツールです。

数学は、大まかに言えば、量、構造、空間、および変化の研究（つまり、算術、代数、幾何学、および分析）に細分することができます。これらの主な懸念に加えて、数学の中心から他の分野へのリンクを探求することに専念する細分化もあります：論理、集合論（基礎）、さまざまな科学の経験的数学（応用数学）、そして最近では不確実性の厳密な研究に。一部の領域は無関係に見えるかもしれませんが、ラングランズプログラムは、ガロア群、リーマン面、数論など、以前は接続されていないと考えられていた領域間の接続を発見しました。

離散数学は通常、連続的ではなく基本的に離散的である数学的構造を研究する数学の分野をグループ化します。

基礎と哲学

数学の基礎を明らかにするために、数理論理学と集合論の分野が開発されました。数学的論理は数学の研究含み、論理学と数学の他の分野への正式なロジックのアプリケーションを。集合論は、集合またはオブジェクトのコレクションを研究する数学の一分野です。「基礎の危機」という句は、1900年から1930年頃に行われた数学の厳密な基礎の探求を表しています。[74]数学の基礎についてのいくつかの意見の不一致は今日まで続いています。財団の危機は、カントールの集合論をめぐる論争やブロウワー・ヒルベルト論争など、当時の多くの論争によって刺激されました。

数理論理学は、厳密な公理的枠組みの中で数学を設定し、そのような枠組みの意味を研究することに関係しています。そのため、ゲーデルの不完全性定理の本拠地であり、音（証明できるすべての定理が真であることを意味する）の場合、基本的な算術を含む効果的な形式システムは必然的に不完全であることを意味します（真の定理があることを意味します）。そのシステムでは証明できません）。数論的公理の有限のコレクションが基礎としてどのように取られても、ゲーデルは、真の数論的事実であるが、それらの公理に従わない正式なステートメントを構築する方法を示しました。したがって、正式なシステムは、完全な数論の完全な公理化ではありません。現代のロジックが分割され再帰理論、モデル理論、および証明論と密接にリンクされている理論計算機科学、[75]などに圏論。再帰理論の文脈では、数論の完全な公理化の不可能性は、MRDP定理の結果として正式に実証することもできます。

理論計算機科学には、計算可能性理論、計算複雑性理論、および情報理論が含まれます。計算可能性理論は、最もよく知られているモデルであるチューリングマシンを含む、コンピューターのさまざまな理論モデルの限界を調べます。複雑性理論は、コンピューターによる扱いやすさの研究です。一部の問題は、理論的にはコンピューターで解決できますが、時間やスペースの点で非常に高価であるため、コンピューターハードウェアが急速に進歩したとしても、解決できないままである可​​能性があります。有名な問題は、ミレニアム賞問題の1つである「P = NP？」問題です。[76]最後に、情報理論は、特定の媒体に保存できるデータの量に関係しているため、圧縮やエントロピーなどの概念を扱います。

Venn A intersect B.svgCommutative diagram for morphism.svgDFAexample.svg
数理論理学集合論圏論計算理論

純粋数学

数論と数論

量の研究は数から始まり、最初はおなじみの自然数です。 および整数 （「整数」）およびそれらに対する算術演算。これらは算術で特徴付けられます。整数のより深い性質は数論で研究されており、そこからフェルマーの最終定理などの人気のある結果が得られます。ツインプライム推測とゴールドバッハの予想は数論における2つの未解決の問題です。

番号システムがさらに開発されているように、整数として認識されたサブセットの有理数 （「分数」）。これらは、順番に、実数内に含まれています、これは、有理数と連続量のシーケンスの限界を表すために使用されます。実数は複素数に一般化されます 。よると、代数学の基本定理、すべての多項式方程式の複素係数と1つの未知のでは関係なく、多項式の次数を、複素数で解決策を持っています。 そして 四元数と八元数を含む数の階層の最初のステップです。自然数を考慮すると、「無限大」の概念を形式化する超限数にもつながります。もう1つの研究分野は、基数で表されるセットのサイズです。これらにはアレフ数が含まれ、無限に大きなセットのサイズの有意義な比較を可能にします。

自然数整数有理数実数複素数無限の枢機卿

構造

数や関数のセットなどの多くの数学的オブジェクトは、セットで定義された演算または関係の結果として内部構造を示します。次に数学は、その構造の観点から表現できる集合の特性を研究します。たとえば、数論は、算術演算で表現できる整数のセットのプロパティを研究します。さらに、そのような異なる構造化セット（または構造）が同様の特性を示すことがよくあります。これにより、抽象化のさらなるステップによって、構造のクラスの公理を述べ、次に、満足する構造のクラス全体を一度に研究することが可能になります。これらの公理。したがって、一つは勉強することができますグループ、リング、フィールドや他の抽象システム。一緒にそのような研究（代数演算によって定義された構造のために）は抽象代数の領域を構成します。

その優れた一般性により、抽象代数は、一見無関係に見える問題に適用できることがよくあります。たとえば、コンパスと直定規の構築に関する多くの古代の問題は、フィールド理論と群論を含むガロア理論を使用して最終的に解決されました。代数的理論の別の例は、線形代数の一般的な研究である、ベクトル空間と呼ばれる要素、ベクトル量と方向の両方を有し、空間内の点（関係）モデルに使用することができます。これは、幾何学と代数の元々無関係な領域が現代の数学で非常に強い相互作用を持っているという現象の一例です。組み合わせ論は、与えられた構造に適合するオブジェクトの数を列挙する方法を研究します。

Elliptic curve simple.svgRubik's cube.svgGroup diagdram D6.svgLattice of the divisibility of 60.svgBraid-modular-group-cover.svg
組み合わせ論数論群論グラフ理論順序論代数

スペース

有する空間が発信の研究幾何特に、-inユークリッド幾何空間と数字を組み合わせ、そして周知包含する、ピタゴラスの定理。三角法は、三角形の辺と角度の関係、および三角関数を扱う数学の分野です。宇宙の現代の研究は、これらのアイデアを一般化して、高次元の幾何学、非ユークリッド幾何学（一般相対性理論で中心的な役割を果たす）、およびトポロジーを含めています。量と空間の両方が、解析幾何学、微分幾何学、および代数幾何学で役割を果たします。凸幾何学と離散幾何学は、数論と関数解析の問題を解決するために開発されましたが、現在は最適化とコンピューターサイエンスのアプリケーションを視野に入れて追求されています。微分幾何学の中には、多様体上の繊維束と微積分、特にベクトルとテンソル計算の概念があります。代数幾何学の中には、量と空間の概念を組み合わせた多項式の解集合としての幾何学オブジェクトの記述と、構造と空間を組み合わせた位相群の研究があります。リー群は、空間、構造、変化を研究するために使用されます。その多くの影響におけるトポロジーは、20世紀の数学における最大の成長分野であった可能性があります。これには、点集合トポロジー、集合論的トポロジー、代数的トポロジー、微分トポロジーが含まれます。特に、現代のトポロジーの例は、距離化可能性理論、公理的集合論、ホモトピー論、およびモース理論です。トポロジーには、現在解決されているポアンカレ予想と、ホッジ予想の未解決の領域も含まれます。四色定理やケプラー予想など、幾何学やトポロジーの他の結果は、コンピューターの助けを借りてのみ証明されています。

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svgSinusvåg 400px.pngHyperbolic triangle.svgTorus.svgMeasure illustration (Vector).svg
ジオメトリ三角法微分幾何学トポロジーフラクタル幾何学測度論

変化する

変化を理解して説明することは自然科学の共通のテーマであり、微積分はそれを調査するためのツールとして開発されました。関数は、変化する量を説明する中心的な概念としてここで発生します。厳格な研究実数と実際の変数の機能は、として知られている実際の分析で、複雑な分析のための同等のフィールドを複素数。関数解析は、関数の（通常は無限次元の）空間に注意を向けます。機能解析の多くのアプリケーションの1つは、量子力学です。多くの問題は、量とその変化率の関係に自然につながり、これらは微分方程式として研究されます。自然界の多くの現象は、動的システムによって説明できます。カオス理論は、これらのシステムの多くが予測不可能でありながら決定論的な振る舞いを示す方法を正確にします。

Integral as region under curve.svgVector field.svgNavier Stokes Laminar.svgLimitcycle.svgLorenz attractor.svgConformal grid after Möbius transformation.svg
微積分ベクトル計算微分方程式動的システムカオス理論複雑な分析

応用数学

応用数学は、科学、工学、ビジネス、および産業で一般的に使用される数学的方法に関係しています。したがって、「応用数学」は専門知識を持った数理科学です。応用数学という用語は、数学者が実際の問題に取り組む専門分野も表します。応用数学は、実践的な問題に焦点を当てた職業として、科学、工学、およびその他の数学の実践分野における「数理モデルの定式化、研究、および使用」に焦点を当てています。

過去において、実用化は数学的理論の開発を動機づけ、それはその後、数学が主にそれ自身のために開発される純粋数学の研究の主題となった。このように、応用数学の活動は純粋数学の研究と非常に密接に関連しています。

統計およびその他の意思決定科学

応用数学は、その理論が数学的に定式化されている統計学の分野、特に確率論とかなり重複しています。統計学者（研究プロジェクトの一部として働いている）は、ランダムサンプリングとランダム化実験で「意味のあるデータを作成」します。[77]統計サンプルまたは実験の設計は、データの分析を指定します（データが利用可能になる前）。以下からのデータを分析する際に実験やサンプルからのデータを見直したりすると観察研究の芸術使用して、統計「データのメイクセンスを」モデリングとの説推論-withモデル選択と推定します。推定されたモデルと結果として生じる予測は、新しいデータでテストする必要があります。[e]

統計理論は、統計的アクションのリスク（期待損失）を最小化するなどの決定問題を研究します。たとえば、パラメーター推定、仮説検定、および最良のものの選択などの手順を使用します。数理統計学のこれらの従来の領域では、統計的決定問題は、特定の制約の下で、期待損失やコストなどの目的関数を最小化することによって定式化されます。たとえば、調査の設計には、特定の人口平均を推定するコストを最小化することが含まれることがよくあります。信頼のレベル。[78]最適化を使用しているため、統計の数理理論は、オペレーションズリサーチ、制御理論、数理経済学などの他の決定科学と懸念を共有しています。[79]

計算数学

計算数学は、人間の数値能力には通常大きすぎる数学的問題を解くための方法を提案し、研究します。数値解析は、関数解析と近似理論を使用した解析の問題の方法を研究します。数値解析には、丸め誤差を特に考慮した近似と離散化の研究が広く含まれています。数値解析、より広くは科学計算も、数理科学の非解析的トピック、特にアルゴリズム行列とグラフ理論を研究します。計算数学の他の分野には、数式処理と記号計算が含まれます。

Arbitrary-gametree-solved.svgBernoullisLawDerivationDiagram.svgComposite trapezoidal rule illustration small.svgMaximum boxed.pngTwo red dice 01.svgOldfaithful3.pngCaesar3.svg
ゲーム理論流体力学数値解析最適化確率論統計暗号化
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.pngGravitation space source.svgCH4-structure.svgSignal transduction pathways.svgGDP PPP Per Capita IMF 2008.svgSimple feedback control loop2.svg
数理ファイナンス数理物理学数学的化学数理生物学数理経済学制御理論

おそらく、数学で最も権威のある賞であるフィールズ賞、[80] [81]が1936年に設立され、最大4つの個人に（第二次世界大戦の周りを除く）ごとに4年を授与されました。フィールズ賞は、数学的にノーベル賞と同等と見なされることがよくあります。

ウルフ賞数学部門、1978年に制定は、生涯の功績を認識し、他の主要な国際的な賞、アーベル賞、2003年に制定されたチャーン賞は、生涯の功績を認識するために2010年に導入されました。これらの称賛は、革新的であるか、確立された分野の未解決の問題に対する解決策を提供する可能性のある特定の一連の作業を評価して授与されます。

「ヒルベルトの問題」と呼ばれる23の未解決の問題の有名なリストは、1900年にドイツの数学者DavidHilbertによって編集されました。このリストは数学者の間で大きな有名人を達成し、少なくとも9つの問題が解決されました。「ミレニアム賞問題」と題された7つの重要な問題の新しいリストが2000年に公開されました。そのうちの1つ、リーマン予想だけがヒルベルトの問題の1つを複製しています。これらの問題のいずれかの解決策には、100万ドルの見返りがあります。現在、これらの問題の1つであるポアンカレ予想のみが解決されています。

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