緯度

地理、緯度はある地理座標すなわち指定北-南、地球の表面上の点の位置を。緯度は、赤道での0°から極での90°（北または南）の範囲の角度（以下に定義）です。一定の緯度、又は線緯線は、円が赤道に平行として、東西を実行します。緯度は経度とともに使用され、地球の表面上のフィーチャの正確な位置を指定します。緯度という用語は、それ自体で測地緯度と見なす必要があります。以下に定義されているように。簡単に言うと、ある点での測地緯度は、その点から楕円面に垂直な（または法線の）ベクトルと赤道面によって形成される角度です。また、特別なアプリケーションで使用される6つの補助緯度も定義されています。

目盛として地球上の 球体又は 楕円体。極から極への線は、一定の経度または 子午線の線です 。赤道に平行な円 は、一定の緯度の線、または 緯線です。経緯線は、表面上のポイントの緯度と経度を示します。この例では、子午線は6°間隔で配置され、緯線は4°間隔で平行になっています。

緯度と経度の定義には、2つのレベルの抽象化が採用されています。最初のステップでは、物理的な表面がジオイドによってモデル化されます。ジオイドは、海上の平均海面と陸地の下でのその継続に近似する表面です。2番目のステップは、数学的に単純な参照面でジオイドを近似することです。参照サーフェスの最も簡単な選択は球ですが、ジオイドは楕円体によってより正確にモデル化されます。このような参照面の緯度と経度の定義については、次のセクションで詳しく説明します。一定の緯度と経度の線が一緒になって、参照面上の目盛を構成します。実際のサーフェス上の点の緯度は、参照サーフェス上の対応するポイントの緯度であり、対応は、物理的なサーフェス上のポイントを通過する参照サーフェスの法線に沿っています。緯度と経度は、高さの仕様とともに、ISO19111規格の仕様で定義されている地理座標系を構成します。^[a]

準拠楕円体にはさまざまな種類があるため、サーフェス上のフィーチャの正確な緯度は一意ではありません。これは、「座標参照系の完全な仕様がない場合、座標（つまり緯度と経度）」と記載されているISO標準で強調されています。せいぜい曖昧で、最悪の場合は無意味です。」これは、全地球測位システム（GPS）などの正確なアプリケーションでは非常に重要ですが、高精度が要求されない一般的な使用法では、準拠楕円体は通常記載されていません。

英語のテキストでは、以下に定義されている緯度の角度は、通常、ギリシャ語の小文字のファイ（φまたはϕ）で表されます。赤道の北または南の度、分、秒、または小数度で測定されます。ナビゲーションの目的で、位置は度と小数分で示されます。たとえば、ニードルズ灯台は北緯50度39.734分西経001度35.500分にあります。^[1]

この記事は、地球の座標系に関連しています。月、惑星、その他の天体（惑星の緯度）をカバーするように適合させることができます。

決定

天体ナビゲーション、緯度を用いて決定される経線高度方法。緯度をより正確に測定するには、セオドライトを設定するか、GPS衛星の軌道を決定するために、地球の重力場を理解する必要があります。研究地球の姿その重力場と一緒にの科学である測地。

緯度を示す地球の斜視図（ ${\ displaystyle \ phi}$）と経度（ ${\ displaystyle \ lambda}$）は球形モデルで定義されます。経緯線の間隔は10度です。

球上の経緯線

経緯線は、地球の自転軸を基準にして作成された、一定の緯度と一定の経度の線によって形成されます。主要な基準点は、地球の自転軸が基準面と交差する極です。回転軸を含む平面は、子午線でサーフェスと交差します。また、任意の1つの子午線平面と、グリニッジ（本初子午線）を通る平面との間の角度が経度を定義します。子午線は一定の経度の線です。地球の中心を通り、回転軸に垂直な平面は、赤道と呼ばれる大円で表面と交差します。赤道面に平行な面は、一定の緯度の円で表面と交差します。これらは類似点です。赤道の緯度は0°、北極の緯度は北緯90度（北緯90度または+ 90°と表記）、南極の緯度は南緯90度（南緯90度または-90度と表記）です。 ）。任意の点の緯度は、赤道面とその点での表面の法線との間の角度です。球の表面の法線は半径ベクトルに沿っています。

球に対してこのように定義されている緯度は、この記事の後続のセクションで定義されている測地緯度および補助緯度とのあいまいさを避けるために、球形緯度と呼ばれることがよくあります。

地球上の名前付き緯度

12月の至点での地球の向き。

赤道に加えて、他の4つの類似点が重要です。

北極圏	66°34 '（66.57°）N
北回帰線	23°26 '（23.43°）N
南回帰線	23°26 '（23.43°）S
南極圏	66°34 '（66.57°）S

太陽の周りの地球の軌道の平面は黄道と呼ばれ、地球の回転軸に垂直な平面は赤道平面です。黄道面と赤道面の間の角度は、さまざまに軸傾斜角、傾斜角、または黄道傾斜角と呼ばれ、慣習的にiで表されます。熱帯の円の緯度はiに等しく、極円の緯度はその補集合（90° -i）です。回転軸は時間の経過とともにゆっくりと変化し、ここに示されている値は現在のエポックの値です。時間変動については、軸傾斜に関する記事で詳しく説明しています。^[b]

この図は、黄道に垂直で、南回帰線のある地点で太陽が頭上にある12月の至点で地球と太陽の中心を通る平面の断面の形状を示しています。南極圏より下の南極緯度は日光の下にあり、北極圏より上の北極緯度は夜です。北回帰線で太陽が頭上にある6月の至点で状況は逆転します。2つの熱帯の間の緯度でのみ、太陽が真上（天頂）にある可能性があります。

上の地図投影経絡と類似点が表示されますどのようになど普遍的なルールはありません。以下の例は、一般的に使用されるメルカトル図法と横メルカトル図法の名前付き緯線（赤い線）を示しています。前者の緯線は水平で子午線は垂直ですが、後者の緯線と子午線は水平と垂直の正確な関係はありません。どちらも複雑な曲線です。

	通常のメルカトル		横メルカトル図法
		\

楕円体

1687年、アイザックニュートンは、PhilosophiæNaturalisPrincipia Mathematicaを発表しました。そこでは、平衡状態にある回転する自己重力流体体が扁球の形をしていることを証明しました。^[2]（この記事では、古い用語の回転楕円体よりも楕円体という用語を使用しています。）ニュートンの結果は、18世紀の測地測定によって確認されました。（子午線弧を参照してください。）扁球楕円体は、短軸（短軸）を中心とした楕円の回転によって生成される3次元の表面です。この記事の残りの部分では、「回転楕円体の扁球」を「楕円体」と略しています。（対称軸を持たない楕円体は3軸と呼ばれます。）

測地学の歴史では、多くの異なる準拠楕円体が使用されてきました。衛星以前の時代には、調査の限られた領域でジオイドにうまく適合するように考案されましたが、GPSの登場により、中心が中心にある準拠楕円体（WGS84など）を使用することが自然になりました。地球の質量と、地球の回転軸に合わせた短軸。これらの地心楕円体は通常、ジオイドから100 m（330フィート）以内にあります。緯度は楕円体に対して定義されているため、特定のポイントの位置は楕円体ごとに異なります。使用する楕円体を指定せずに、地理的特徴の緯度と経度を正確に指定することはできません。国の機関によって維持されている多くの地図は古い楕円体に基づいているため、緯度と経度の値が1つの楕円体から別の楕円体にどのように変換されるかを知っておく必要があります。GPSハンドセットには、WGS84を関連するグリッドを持つローカル準拠楕円体にリンクするデータム変換を実行するソフトウェアが含まれています。

楕円体の形状

半径aの球は 、z軸に沿って圧縮され、 扁球回転楕円体を形成します。

回転楕円体の形状は、短軸（短軸）を中心に回転する楕円の形状によって決まります。2つのパラメーターが必要です。1つは常に赤道半径であり、これは半主軸であるaです。他のパラメータは、通常、（1）極性半径又は半短軸、B。または（2）（最初の）平坦化、f ; または（3）偏心、E。これらのパラメータは独立していません：それらはによって関連しています

${\ displaystyle f = {\ frac {ab} {a}}、\ qquad e ^ {2} = 2f-f ^ {2}、\ qquad b = a（1-f）= a {\ sqrt {1- e ^ {2}}} \、。}$

他の多くのパラメータ（楕円、楕円体を参照）は、測地学、地球物理学、地図投影法の研究に登場しますが、それらはすべて、集合a、b、f、eの1つまたは2つのメンバーで表すことができます。fとeはどちらも小さく、計算で級数展開で現れることがよくあります。彼らは秩序です1/298それぞれ0.0818。いくつかの楕円体の値は、地球の形に示されています。準拠楕円体は通常、半主軸と逆扁平率によって定義されます。1/f。たとえば、すべてのGPSデバイスで使用されるWGS84楕円体の定義値は^[3]です。

• a（赤道半径）：6 378 137 .0m正確に
• 1/f （逆平坦化）： 298.257 223 563正確に

そこから派生

• b（極半径）：6 356 752 .3142 m
• e ²（離心率の2乗）：0.006 694 379 990 14

セミメジャー軸とセミマイナー軸の差は約21km（13マイル）であり、セミメジャー軸の一部として平坦化に等しくなります。コンピューターモニターでは、楕円体のサイズは300 x299ピクセルになります。これは、300 x 300ピクセルの球体とほとんど区別できないため、通常、イラストは平坦化を誇張しています。

測地および地心緯度

測地緯度の定義（ ${\ displaystyle \ phi}$）と経度（ ${\ displaystyle \ lambda}$）楕円体上。表面の法線は、赤道と極を除いて、中心を通過しません。

楕円体の経緯線は、球体とまったく同じ方法で作成されます。楕円体の表面上の点の法線は、赤道上の点または極を除いて中心を通過しませんが、緯度の定義は、法線と赤道面の間の角度として変更されません。緯度の用語は、次のことを区別してより正確にする必要があります。

• 測地緯度：法線と赤道面の間の角度。英語の出版物の標準的な表記法はφです。これは、緯度という単語が修飾なしで使用されている場合に想定される定義です。定義には、楕円体の仕様を添付する必要があります。
• 地心緯度：半径（中心から表面上の点まで）と赤道面の間の角度。（下の図）。標準的な表記法は存在しない：様々なテキストからの例には、θ、ψ、Q、φ '、φ _C、φ _Gを。この記事ではθを使用します。
• 球面緯度：球面基準面の法線と赤道面の間の角度。
• 地理的な緯度は注意して使用する必要があります。測地緯度の同義語として使用する著者もいれば、天文緯度の代替として使用する著者もいます。
• 緯度（非修飾）は通常、測地緯度を指します。

参照データを指定することの重要性は、簡単な例で説明できます。WGS84の準拠楕円体では、エッフェル塔の中心の測地緯度は48°51 '29 "N、つまり48.8583°N、経度は2°17 '40" Eまたは2.2944°Eです。データムED50の同じ座標は、タワーから140メートル（460フィート）離れた地面上のポイントを定義します。^[要出典]ウェブ検索では、塔の緯度についていくつかの異なる値が生成される場合があります。準拠楕円体が指定されることはめったにありません。

緯度の長さは、想定される地球の形によって異なります。

球上の子午線距離

球上では、法線は中心を通過するため、緯度（φ）は、赤道から関係する点までの子午線弧によって中心でなす角に等しくなります。場合子午線距離は、で示され、M（φ）、次いで

${\ displaystyle m（\ phi）= {\ frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}} R \ phi _ {\ mathrm {degrees}} = R \ phi _ {\ mathrm {radians}}}$

ここで、Rは地球の平均半径を示します。Rは6,371kmまたは3,959マイルに相当します。より高い精度の結果は楕円体モデルを必要とするため、Rにはより高い精度は適切ではありません。Rのこの値を使用すると、球の緯度1度の子午線の長さは111.2 km（69.1法定マイル）（60.0海里）になります。緯度の1分の長さは1.853km（1.151法定マイル）（1.00海里）ですが、緯度の1秒の長さは30.8 mまたは101フィートです（海里を参照）。

楕円体上の子午線距離

子午線弧と標準テキスト^{[4] [5] [6]} 、それが示されている緯度から子午線に沿った距離ことφ赤道には次式で与えられ（φラジアン）

${\ displaystyle m（\ phi）= \ int _ {0} ^ {\ phi} M（\ phi '）\、d \ phi' = a \ left（1-e ^ {2} \ right）\ int _ {0} ^ {\ phi} \ left（1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi '\ right）^ {-{\ frac {3} {2}}} \、d \ phi' }$

ここで、M（φ）は子午線の曲率半径です。

赤道から極までの4分の1子午線距離は次のとおりです。

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = m \ left（{\ frac {\ pi} {2}} \ right）\、}$

WGS84この距離があります10 001 0.965 729 キロ。

子午線距離積分の評価は、測地学および地図投影法の多くの研究の中心です。二項級数で積分を展開し、項ごとに積分することで評価できます。詳細については、子午線弧を参照してください。与えられた2つの緯度の間の子午線弧の長さは、積分の限界を関連する緯度に置き換えることによって与えられます。小さな子午線弧の長さは^{[5] [6]で}与えられ^ます。

${\ displaystyle \ delta m（\ phi）= M（\ phi）\、\ delta \ phi = a \ left（1-e ^ {2} \ right）\ left（1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi \ right）^ {-{\ frac {3} {2}}} \、\ delta \ phi}$

${\ displaystyle \ phi}$	Δ1 緯度	Δ1 長い
0°	110.574 km	111.320 km
15°	110.649 km	107.550 km
30°	110.852 km	96.486 km
45°	111.132 km	78.847 km
60°	111.412 km	55.800 km
75°	111.618 km	28.902 km
90°	111.694 km	0.000 km

緯度差が1度の場合、対応する π/180 ラジアン、弧の距離は約

${\ displaystyle \ Delta _ {\ text {lat}} ^ {1} = {\ frac {\ pi a \ left（1-e ^ {2} \ right）} {180 ^ {\ circ} \ left（1 -e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi \ right）^ {\ frac {3} {2}}}}}$

緯度間のメートル単位の距離（0.01メートルに修正） ${\ displaystyle \ phi}$ −0.5度および ${\ displaystyle \ phi}$ + WGS84回転楕円体の0.5度は

${\ displaystyle \ Delta _ {\ text {lat}} ^ {1} = 111 \、132.954-559.822 \ cos 2 \ phi +1.175 \ cos 4 \ phi}$

緯度によるこの距離の変化（WGS84上）は、経度の長さ（東西距離）とともに表に示されています。

${\ displaystyle \ Delta _ {\ text {long}} ^ {1} = {\ frac {\ pi a \ cos \ phi} {180 ^ {\ circ} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi}}}} \、}$

任意の緯度の計算機は、米国政府のNational Geospatial-Intelligence Agency（NGA）によって提供されます。^[7]

次のグラフは、緯度と経度の両方の緯度による変化を示しています。

測地緯度（φ）と地心緯度（ θ）の定義 。

測地学、地球物理学、地図投影法の特別な問題に適用できる6つの補助緯度があります。

• 地心緯度
• パラメトリック（または縮小）緯度
• 緯度の修正
• 本物の緯度
• 等角緯度
• 等尺性緯度

このセクションに記載されている定義はすべて準拠楕円体上の位置に関連していますが、測地緯度などの最初の2つの補助緯度を拡張して、以下で説明する3次元の地理座標系を定義できます。残りの緯度はこのようには使用されません。これらは、準拠楕円体の平面への地図投影法または楕円体上の測地学の計算における中間構成としてのみ使用されます。それらの数値は重要ではありません。たとえば、エッフェル塔の真の緯度を計算する必要はありません。

以下の式は、測地緯度、半主軸a、および離心率eの観点から補助緯度を示します。（逆については、以下を参照してください。）与えられた形式は、表記法の変形は別として、地図投影法の標準リファレンス、つまりJP Snyderによる「地図投影法：作業マニュアル」にあるものです。^[8]これらの表現の派生は、Adams ^[9]と、Osborne ^[5]およびRappによるオンライン出版物に記載されています。^[6]

地心緯度

測地緯度（φ）と地心緯度（ θ）の定義 。

地心緯度は、赤道面と表面上の点までの中心からの半径との間の角度です。地心緯度（θ）と測地緯度（φ）の関係は、上記の参考文献で次のように導き出されます。

${\ displaystyle \ theta（\ phi）= \ tan ^ {-1} \ left（\ left（1-e ^ {2} \ right）\ tan \ phi \ right）= \ tan ^ {-1} \ left （（1-f）^ {2} \ tan \ phi \ right）\、。}$

測地緯度と地心緯度は赤道と極で同じですが、他の緯度では数分の弧が異なります。離心率の2乗の値を0.0067（楕円体の選択によって異なります）とすると、${\ displaystyle \ phi {-} \ theta}$約45°6 'の測地緯度で約11.5分の弧であることが示される場合があります。^[c]

パラメトリック（または縮小）緯度

楕円体のパラメトリック緯度（β）の定義 。

パラメトリックまたは減少緯度、βは、その点に楕円の中心から引き出さ半径によって定義されるQ（半径の周囲球上のA点の地球軸に投影平行である）Pで楕円に緯度φ。これは、楕円体上の測地線の問題を、この小さな緯度を使用して球形測地線の同等の問題に変換することで解決したLegendre ^[10]とBessel ^[11]によって導入されました。ベッセル表記u（φ）は、現在の文献でも使用されています。パラメトリック緯度は、次のように測地緯度に関連付けられています。^{[5] [6]}

${\ displaystyle \ beta（\ phi）= \ tan ^ {-1} \ left（{\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ tan \ phi \ right）= \ tan ^ {-1} \ left （（1-f）\ tan \ phi \ right）}$

別名は、子午線セクションを表す楕円の方程式のパラメーター化から生じます。デカルト座標p（短軸からの距離）およびz（赤道面からの距離）に関して、楕円の方程式は次のようになります。

${\ displaystyle {\ frac {p ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \、。}$

ポイントのデカルト座標は、によってパラメータ化されます。

${\ displaystyle p = a \ cos \ beta \ ,, \ qquad z = b \ sin \ beta \、;}$

Cayleyは、これらの方程式の形式のために、パラメトリック緯度という用語を提案しました。^[12]

パラメトリック緯度は、地図投影の理論では使用されません。その最も重要なアプリケーションは、楕円体上の測地線の理論にあります（Vincenty、Karney ^[13]）。

緯度の修正

整流緯度、μ、子午線距離は極で、その値は90度に等しくなるようにスケーリングされます π/2 ラジアン：

${\ displaystyle \ mu（\ phi）= {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {m（\ phi）} {m _ {\ mathrm {p}}}}}$

ここで、赤道から緯度φまでの子午線距離は次のとおりです（子午線弧を参照）。

${\ displaystyle m（\ phi）= a \ left（1-e ^ {2} \ right）\ int _ {0} ^ {\ phi} \ left（1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi '\ right）^ {-{\ frac {3} {2}}} \、d \ phi' \ ,,}$

赤道から極までの子午線象限の長さ（極距離）は次のとおりです。

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = m \ left（{\ frac {\ pi} {2}} \ right）\、。}$

修正緯度を使用して、半径の球上の緯度を定義します

${\ displaystyle R = {\ frac {2m _ {\ mathrm {p}}} {\ pi}}}$

すべての子午線が真の長さと均一な縮尺を持つように、楕円体から球への投影を定義します。次に、球を正距円筒図法で平面に投影して、すべての子午線が真の長さと均一な子午線スケールを持つように、楕円体から平面への二重投影を行うことができます。整流緯度の使用例は、正距円錐図法です。（スナイダー、セクション16）。^[8]横メルカトル図法の構築では、整流緯度も非常に重要です。

本物の緯度

正積（ギリシャ同じ領域）緯度、ξは、球にエリア保存変換を与えます。

${\ displaystyle \ xi（\ phi）= \ sin ^ {-1} \ left（{\ frac {q（\ phi）} {q _ {\ mathrm {p}}}} \ right）}$

どこ

${\ displaystyle {\ begin {aligned} q（\ phi）＆= {\ frac {\ left（1-e ^ {2} \ right）\ sin \ phi} {1-e ^ {2} \ sin ^ { 2} \ phi}}-{\ frac {1-e ^ {2}} {2e}} \ ln \ left（{\ frac {1-e \ sin \ phi} {1 + e \ sin \ phi}} \ right）\\ [2pt]＆= {\ frac {\ left（1-e ^ {2} \ right）\ sin \ phi} {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi}} + {\ frac {1-e ^ {2}} {e}} \ tanh ^ {-1}（e \ sin \ phi）\ end {aligned}}}$

そして

${\ displaystyle {\ begin {aligned} q _ {\ mathrm {p}} = q \ left（{\ frac {\ pi} {2}} \ right）＆= 1-{\ frac {1-e ^ {2 }} {2e}} \ ln \ left（{\ frac {1-e} {1 + e}} \ right）\\＆= 1 + {\ frac {1-e ^ {2}} {e}} \ tanh ^ {-1} e \ end {aligned}}}$

球の半径は次のようになります。

${\ displaystyle R_ {q} = a {\ sqrt {\ frac {q _ {\ mathrm {p}}} {2}}} \、。}$

本物の緯度の使用例は、アルベルス正積円錐図法です。^[8]：§14

等角緯度

等角緯度、χは、角度保存（得られる共形球に）変換します。

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ chi（\ phi）＆= 2 \ tan ^ {-1} \ left [\ left（{\ frac {1+ \ sin \ phi} {1- \ sin \ phi} } \ right）\ left（{\ frac {1-e \ sin \ phi} {1 + e \ sin \ phi}} \ right）^ {e} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} -{\ frac {\ pi} {2}} \\ [2pt]＆= 2 \ tan ^ {-1} \ left [\ tan \ left（{\ frac {\ phi} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right）\ left（{\ frac {1-e \ sin \ phi} {1 + e \ sin \ phi}} \ right）^ {\ frac {e} {2}} \ right]-{\ frac {\ pi} {2}} \\ [2pt]＆= \ tan ^ {-1} \ left [\ sinh \ left（\ sinh ^ {-1}（\ tan \ phi） -e \ tanh ^ {-1}（e \ sin \ phi）\ right）\ right] \\＆= \ operatorname {gd} \ left [\ operatorname {gd} ^ {-1}（\ phi）-e \ tanh ^ {-1}（e \ sin \ phi）\ right] \ end {aligned}}}$

ここで、gd（x）はグーデルマン関数です。（メルカトル図法も参照してください。）

共形緯度は、楕円体から任意の半径の球への変換を定義し、楕円体上の任意の2本の線の交点の角度が球上の対応する角度と同じになるようにします（小さな要素の形状がよく保存されるように） 。球から平面へのさらなる等角変換により、楕円体から平面への等角二重投影が得られます。これは、そのような正角図法を生成する唯一の方法ではありません。たとえば、楕円体上の横メルカトル図法の「正確な」バージョンは、二重図法ではありません。（ただし、複素平面への等角緯度の一般化が含まれます）。

等尺性緯度

等角緯度、ψは、通常の楕円バージョンの開発に使用されているメルカトル図法と横メルカトル図法。「等尺性」という名前は、楕円体上の任意の点で、ψと経度λの等しい増分がそれぞれ子午線と緯線に沿って等しい距離の変位を引き起こすという事実に由来します。定数ψと定数λの線で定義される目盛は、楕円体の表面を（さまざまなサイズの）正方形のメッシュに分割します。等角緯度は赤道ではゼロですが、測地緯度から急速に発散し、極では無限大になる傾向があります。従来の表記法はSnyder（15ページ）に記載されています：^[8]

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ psi（\ phi）＆= \ ln \ left [\ tan \ left（{\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ phi} {2}} \ right）\ right] + {\ frac {e} {2}} \ ln \ left [{\ frac {1-e \ sin \ phi} {1 + e \ sin \ phi}} \ right] \\＆ = \ sinh ^ {-1}（\ tan \ phi）-e \ tanh ^ {-1}（e \ sin \ phi）\\＆= \ operatorname {gd} ^ {-1}（\ phi）-e \ tanh ^ {-1}（e \ sin \ phi）。\ end {aligned}}}$

以下のために正常（楕円体上の）メルカトル図法この機能は類似の間隔を定義：投影に赤道の長さがある場合にE（長さや画素単位）を距離、Y緯度の平行の、φから赤道は

${\ displaystyle y（\ phi）= {\ frac {E} {2 \ pi}} \ psi（\ phi）\、。}$

等角緯度ψは等角緯度χと密接に関連しています。

${\ displaystyle \ psi（\ phi）= \ operatorname {gd} ^ {-1} \ chi（\ phi）\、。}$

逆式と級数

前のセクションの式は、測地緯度の観点から補助緯度を示しています。地心緯度とパラメトリック緯度の式は直接反転できますが、これは残りの4つのケース（修正緯度、本物緯度、等角緯度、等角緯度）では不可能です。続行するには2つの方法があります。1つ目は、補助緯度の特定の値ごとの定義式の数値反転です。利用可能な方法は、固定小数点反復とニュートン-ラフソン求根アルゴリズムです。もう1つのより便利なアプローチは、測地緯度の観点から補助緯度を級数として表現し、次に陰関数のラグランジュの方法で級数を反転することです。このような級数は、テイラー級数展開を使用し、離心率の観点から係数を与えるアダムスによって提示されます。^[9] Osborne ^[5]は、数式処理パッケージMaxima ^[14]を使用して系列を任意の次数に導き、離心率と平坦化の両方の観点から係数を表現します。直列法は等角緯度には適用できず、中間ステップで等角緯度を使用する必要があります。

補助緯度の数値比較

右のプロットは、WGS84楕円体の場合の、測地緯度と等角緯度（極で無限大に発散する）以外の補助緯度の違いを示しています。プロットに示されている違いは分単位です。北半球（正の緯度）では、θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ φ ; 南半球（負の緯度）では、不等式が逆転し、赤道と極が等しくなります。グラフは約45°対称に見えますが、曲線の最小値は実際には45°2 'と45°6'の間にあります。以下の表に、いくつかの代表的なデータポイントを示します。等角緯度と地心緯度はほとんど区別できません。これは、地図投影法の作成を促進するために電卓の時代に利用されていた事実です。^[8]：108

平坦化の最初のためにF、補助緯度のように表すことができる。ζ = φ - Cfの罪2 φ定数Cが値を取る[ 1 / 2、 2 / 3、 3 / 4、1、1]のためζ = [ β、 ξ、 μ、 χ、 θ ]。

測地緯度、または準拠楕円体で定義された補助緯度のいずれかは、経度でその楕円体の2次元座標系を構成します。任意の点の位置を定義するには、そのような座標系を3次元に拡張する必要があります。この方法では、3つの緯度が使用されます。測地、地心、およびパラメトリック緯度は、それぞれ測地座標、球面極座標、および楕円座標で使用されます。

測地座標

測地座標 P（ɸ、λ、h）

任意の点Pで、準拠楕円体に垂直な線PNを考えます。測地座標P（ɸ、λ、h）は、楕円体上の点Nの緯度と経度、および距離PNです。この高さは、ジオイドより上の高さ、または指定された場所の平均海抜より上のような参照高さとは異なります。方向PNは、垂直鉛直線の方向とは異なるであろう。これらの異なる高さの関係には、ジオイドの形状と地球の重力場に関する知識が必要です。

球面極座標

球面極座標に関連する地心座標 P（r、θ '、λ）

地心緯度θは、点の座標がP（r、θ '、λ）である従来の球面極座標における極角θ'の補数です。ここで、rは中心OからのPの距離、θ 'は半径ベクトルと極軸の間の角度とλは経度です。楕円体上の一般的な点の法線は中心を通過しないため、すべて同じ測地緯度を持つ法線上の点P 'は、異なる測地緯度を持つことは明らかです。球形の極座標系は、重力場の分析に使用されます。

楕円座標

楕円座標 P（u、β、λ）

パラメトリック緯度は、3次元座標系に拡張することもできます。準拠楕円体（半軸OAおよびOB）上にない点Pの場合、準拠楕円体と共焦点（同じ焦点F、F '）である補助楕円体を作成します。必要な条件は、準主軸の積aeであるということです。離心率は両方の楕円体で同じです。してみましょうuは半マイナー軸（もOD補助楕円体）。さらに、βを補助楕円体上のPのパラメトリック緯度とします。セットは、（U、β、λ）を定義楕円座標、^{[4] ：§4.2.2}としても知られている楕円高調波座標。^[15]これらの座標は、回転する楕円体の重力場のモデルにおける自然な選択です。上記は、2軸楕円体（偏平回転楕円体座標のような回転楕円体）に適用されます。一般化については、3軸楕円座標を参照してください。

座標変換

上記の座標系とデカルト座標の関係はここでは示していません。測地座標とデカルト座標の間の変換は、地理座標変換にあります。デカルト極と球面極の関係は、球面座標系で与えられます。デカルト座標と楕円座標の関係については、Torgeで説明しています。^[4]

天文緯度（Φ）は、赤道面と表面上のある点での真の垂直方向との間の角度です。鉛直線の方向である真の垂直線は、その緯度での重力方向（重力加速度（質量ベース）と遠心加速度の結果）でもあります。^[4]天体の緯度は、赤緯が正確にわかっている天頂と星の間で測定された角度から計算されます。

一般に、サーフェス上のある点での真の垂直線は、準拠楕円体の法線またはジオイドの法線と正確に一致しません。天文法線と測地法線の間の角度は垂直偏向と呼ばれ、通常は数秒の弧ですが、測地学では重要です。^{[4] [16]}ジオイドの法線と異なる理由は、ジオイドが「平均海面で」理想化された理論上の形状であるためです。地球の実際の表面上のポイントは通常、この理想化されたジオイド表面の上または下にあり、ここでは実際の垂直方向がわずかに異なる場合があります。また、特定の時点での真の鉛直は、理論上のジオイドが平均化する潮汐力の影響を受けます。

天文緯度と混同されるべきではない緯、座標天文学者は/北の南件の角度位置を指定するために同様に使用天の赤道を（参照赤道座標）も有する黄道緯度、天文学者が指定するために使用する座標黄道の北/南の星の角度位置（黄道座標を参照）。

脚注

引用

• GEONets Names Server、米国国家地理空間情報局（NGA）の外国の地理的特徴名のデータベースへのアクセス。
• 緯度と経度を決定するためのリソース
• 小数度を度、分、秒に変換する-小数から六十進への変換に関する情報
• 小数度を度、分、秒に変換します
• 緯度と経度に基づく距離計算-JavaScriptバージョン
• 16世紀の緯度調査
• 1579年のカリフォルニア海岸のフランシスドレークによる緯度の決定