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ジオメトリ

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ジオメトリ

幾何学（古代ギリシャ語から：γεωμετρία ; geo- "earth"、- metron "measurement"）は、算術を使用すると、数学の最も古い分野の1つです。それは、距離、形、サイズ、および図形の相対位置に関連する空間のプロパティに関係しています。[1]幾何学の分野で働く数学者は、幾何学者と呼ばれます。

デザルグの定理の図解 、ユークリッド幾何学と 射影幾何学の結果

19世紀まで、幾何学はほぼ独占的にユークリッド幾何学に専念していました[a]。これには、基本的な概念として、点、線、平面、距離、角度、表面、および曲線の概念が含まれます。[2]

19世紀の間に、いくつかの発見が幾何学の範囲を劇的に拡大しました。最古のこのような発見の一つはガウス'驚異の定理ことおおよそアサート（ 『顕著定理』）ガウス曲率面の任意の特定から独立して埋め込みにユークリッド空間。これは、表面が本質的に、つまり独立した空間として研究でき、多様体とリーマン幾何学の理論に拡張されたことを意味します。

19世紀後半には、平行線公準のない幾何学（非ユークリッド幾何学）は、矛盾を導入することなく開発できるように見えました。一般相対性理論の根底にある幾何学は、非ユークリッド幾何学の有名な応用です。

それ以来、幾何学の範囲は大幅に拡大され、フィールドは、基礎となる方法に依存する多くのサブフィールドに分割されました—微分幾何学、代数幾何学、計算幾何学、代数トポロジー、離散幾何学（組み合わせ幾何学としても知られています）、など、または無視されるユークリッド空間のプロパティについては、点の整列のみを考慮し、距離と平行度は考慮しない射影幾何学、角度と距離の概念を省略したアフィン幾何学、連続性を省略した有限幾何学など。

もともと物理世界をモデル化するために開発された幾何学は、ほとんどすべての科学に適用され、アート、建築、およびグラフィックスに関連するその他の活動にも適用されます。[3]幾何学は、明らかに無関係な数学の分野にも応用されています。例えば、代数幾何学の方法は基本的にありワイルズの証明のフェルマーの最終定理の用語で記述された問題小学校算数、およびいくつかの何世紀にもわたって未解決のままでした。

歴史

A ヨーロッパと アラブの15世紀で練習ジオメトリ

幾何学の最初の記録された始まりは、紀元前2千年紀の古代メソポタミアとエジプトにさかのぼることができます。[4] [5]初期の幾何学は、長さ、角度、面積、および体積に関する経験的に発見された原則のコレクションであり、測量、建設、天文学、およびさまざまな工芸品の実際のニーズを満たすために開発されました。幾何学に関する最も初期の既知のテキストは、エジプトの リンドパピルス（紀元前2000年から1800年）とモスクワパピルス（紀元前1890年頃）、およびプリンプトン322（紀元前1900年）などのバビロニアの粘土板です。たとえば、モスクワ数学パピルスは、角錐台または錐台の体積を計算するための式を示しています。[6]後の粘土板（紀元前350〜50年）は、バビロニアの天文学者が時間速度空間内で木星の位置と動きを計算するために台形の手順を実装したことを示しています。これらの幾何学的手順は、平均速度定理を含むオックスフォード計算機を14世紀までに予測していました。[7]エジプト南部では、古代ヌビア人が初期バージョンの太陽時計を含む幾何学体系を確立しました。[8] [9]

紀元前7世紀、ギリシャの数学者タレスオブミレタスは幾何学を使用して、ピラミッドの高さや海岸からの船の距離の計算などの問題を解決しました。彼は、タレスの定理に4つの結果を導き出すことにより、幾何学に適用された演繹的推論の最初の使用でクレジットされています。[10]ピタゴラスが確立ピタゴラスの学校の最初の証拠と信じて、ピタゴラスの定理、[11]の定理のステートメントは、長い歴史を持っているのに。[12] [13] Eudoxus（408–c。355 BC）は、曲線図形の面積と体積の計算を可能にする取り尽くし法[14]と、通約不可能な大きさの問題を回避する比率の理論を開発しました。、これにより、後続のジオメトリが大幅に進歩することが可能になりました。紀元前300年頃、幾何学はユークリッドによって革命を起こしました。ユークリッドの要素は、これまでで最も成功し影響力のある教科書と広く見なされており[15]、公理的方法によって数学的な厳密さを導入し、今日でも数学で使用されている形式の最も初期の例です。定義、公理、定理、および証明の。要素の内容のほとんどはすでに知られていましたが、Euclidはそれらを単一の一貫した論理フレームワークに配置しました。[16]要素は、 20世紀の半ばまで西にあるすべての教育を受けた人々に知られていた、その内容は今日でもジオメトリクラスに教示されています。[17]アルキメデスの（C。287から212 BC）シラキュース使用疲労の方法を計算する領域を円弧下放物線と無限級数の和、との著しく正確な近似が得られたpIを。[18]彼はまた、彼の名前を冠したスパイラルを研究し、回転面の体積の公式を取得しました。

幾何学を教える女性。ユークリッド原論の中世の翻訳の冒頭の図解 （1310年頃）。

インドの数学者も幾何学において多くの重要な貢献をしました。Satapathaブラーフマナ（紀元前3世紀）は、に似ている儀式幾何学的構造のための規則が含まれSulba写経を。[19] （による林2005、P。363）、Śulba経典はそれはすでに旧バビロニア人に知られていたが、「世界でピタゴラスの定理の現存する最古言語表現が含まれている。彼らはのリストを含んピタゴラスのトリプルを、[20]の特別な場合であるディオファントス方程式。[21]においてバクシャーリー写本は、（不規則な固体のボリュームに関する問題を含む）の幾何学的問題の一握りがある。ザBakhshali「はまた、原稿ドット10進数の桁値方式を採用ゼロは、」[22] アリヤバータのAryabhatiya（499）領域とボリュームの計算を含む。ブラーマグプタは彼の天文仕事書いブラーマ・スプタ・シッダーンタを66の含有、628第12章サンスクリット、詩を二つの部分に分けた：「基本的な操作を（混合、数学シリーズ、平面図形、レンガを積層木材のソーイング、及び粒子の積み重ねを含む）の実用的な数学『"（キューブ根、画分、比率及び割合、及びバーター含む）』[23]での目 後半のセクションで、彼は共円四辺形の対角線に関する彼の有名な定理を述べま​​した。第12章には、共円四辺形の面積の公式（ヘロンの公式の一般化）、および有理三角形（つまり、有理辺と有理面積を持つ三角形）の完全な説明も含まれていました。[23]

で中世、中世のイスラム数学は幾何学、特にの発展に貢献した代数幾何学。[24] [25] Al-Mahani（b。853）は、立方体を代数の問題に複製するなど、幾何学的な問題を減らすというアイデアを思いついた。[26] サービト・イブン・クッラ（にThebitとしても知られているラテン）（836から901）を扱って演算に適用される操作の比率の幾何学的な量の、及び開発に貢献解析幾何学。[27] オマルハイヤーム（1048から1131）は、幾何学的に解決策が見出さ立方方程式を。[28]ランベルトの四辺形とサッケーリの四辺形を含む四辺形に関するイブン・アル・ハイサム（アルハーゼン）、オマール・カヤム、ナシル・アル・ディン・アル・トゥシの定理は、双曲幾何学の初期の結果であり、それらの代替の仮定とともに、プレイフェアの公理として、これらの作品は、ウィテロ（c。1230 – c。1314）、ゲルソニデス（1288–1344）、アルフォンソ、ジョンウォリス、ジョヴァンニジェロラモなど、後のヨーロッパの幾何学における非ユークリッド幾何学の発展に大きな影響を与えました。サッケーリ。[疑わしい–話し合う] [29]

17世紀初頭、幾何学には2つの重要な発展がありました。1つ目は、ルネ・デカルト（1596–1650）とピエール・ド・フェルマー（1601–1665）による解析幾何学、または座標と方程式を使用した幾何学の作成でした。[30]これは、微積分学と物理学の正確な定量的科学の発展に必要な前兆でした。[31]この時期の2番目の幾何学の発展は、ジラール・デザルグ（1591–1661）による射影幾何学の体系的な研究でした。[32]射影幾何学は、特に芸術的な視点に関連しているため、射影や断面の下で変化しない形状の特性を研究します。[33]

19世紀の幾何学の2つの発展は、それが以前に研究されていた方法を変えました。[34]これらは、ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー、ヤノス・ボリヤイ、カール・フリードリヒ・ガウスによる非ユークリッド幾何学の発見と、フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラム（ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を一般化した）の中心的な考慮事項としての対称性の定式化でした。）。時間のマスター幾何の二つであったベルンハルト・リーマン（1826年から1866年）、からのツールで主に働いて数学的解析、および導入リーマン面を、そしてアンリ・ポアンカレ、創業者の代数的トポロジーとの幾何学的な理論力学系。幾何学の概念におけるこれらの大きな変化の結果として、「空間」の概念は豊かで多様なものになり、複雑な分析や古典力学と同じくらい異なる理論の自然な背景になりました。[35]

幾何学の重要な概念

以下は、ジオメトリの最も重要な概念の一部です。[2] [36] [37]

公理

ユークリッドの 平行線公準の図

ユークリッドは、これまでに書かれた中で最も影響力のある本の1つである彼のElements [38]で幾何学に抽象的なアプローチを取りました。[39]ユークリッドは、点、線、および平面の主要なまたは自明の特性を表現する特定の公理または仮説を導入しました。[40]彼は数学的推論によって他の特性を厳密に推論し始めた。ユークリッドの幾何学へのアプローチの特徴はその厳密さであり、公理的または合成幾何学として知られるようになりました。[41] 19世紀の開始時に、の発見非ユークリッド幾何学的形状によってニコライイワロバチェフスキー（1792から1856）、ボーヤイ・ヤーノシュ（1802から1860）、カール・フリードリヒ・ガウス（1777から1855）など[42]主導しますこの分野への関心が復活し、20世紀に、David Hilbert（1862–1943）は、幾何学の現代的な基盤を提供するために公理的推論を採用しました。[43]

ポイント

ポイントは、ユークリッド幾何学の基本的なオブジェクトと見なされます。それらは、ユークリッドの「部分のないもの」[44]としての定義や、代数またはネストされた集合の使用など、さまざまな方法で定義されています。[45]解析幾何学、微分幾何学、トポロジーなどの幾何学の多くの領域では、すべてのオブジェクトは点から構築されていると見なされます。ただし、ポイントを参照せずにジオメトリの研究がいくつか行われています。[46]

線

ユークリッドは、線を「それ自体の点に関して等しくある」「幅のない長さ」と表現しました。[44]現代の数学では、幾何学が多数あることを考えると、線の概念は幾何学の記述方法と密接に関係しています。例えば、で解析幾何学、面内の線は、しばしば、その座標所与満たす点の集合として定義される線形方程式を、[47]などが、より抽象的な設定に入射ジオメトリ、ラインは、独立オブジェクトであってもよいです、その上にあるポイントのセットとは異なります。[48]微分幾何学では、測地線は曲線空間への線の概念の一般化です。[49]

飛行機

平面は無限遠に延在する平坦な二次元の面です。[44]平面は、ジオメトリのすべての領域で使用されます。たとえば、平面は、距離や角度を参照せずにトポロジカルサーフェスとして調べることができます。[50]それはアフィン空間として研究することができ、共線性と比率は研究できますが、距離は研究できません。[51]複素解析の手法を使用して、複素平面として研究できます。[52]など。

角度

ユークリッドは、平面角度を、互いに交わり、互いに真っ直ぐにならない2本の線の平面内での互いの傾きとして定義します。[44]現代の用語では、角度は、角度の頂点と呼ばれる共通の端点を共有する、角度の側面と呼ばれる2つの光線によって形成される図形です。[53]

アキュート（a）、鈍角（b）、および直線（c）の角度。鋭角と鈍角は斜角とも呼ばれます。

で、ユークリッド幾何学、角度を研究するために使用されている多角形と三角形だけでなく、自分の右に研究の対象を形成します。[44]三角形の角度または単位円内の角度の研究は、三角法の基礎を形成します。[54]

で微分幾何学と結石との間の角度の平面曲線または空間曲線又は表面は、使用して計算することができる誘導体。[55] [56]

カーブ

曲線は直線（線状）であってもなくてもよい1次元オブジェクトです。2次元空間の曲線は平面曲線と呼ばれ、3次元空間の曲線は空間曲線と呼ばれます。[57]

トポロジーでは、曲線は実数の間隔から別の空間への関数によって定義されます。[50]微分幾何学では、同じ定義が使用されますが、定義関数は微分可能である必要があります[58]代数幾何学は、次元1の代数多様体として定義される代数曲線を研究します。[59]

表面

球表面でパラメトリックに定義することができる（することによって 、X = Rの罪θのcos φ、Y = Rの罪θのsin φ、Z = R COS θ）によって暗黙的に又は（ X 2 + Y 2 + Z 2 - 、R 2 = 0。）

表面は、例えば球又は放物面として、2次元オブジェクトです。[60]で微分幾何学[58]とトポロジー、[50]表面は、二次元の「パッチ」（またはによって記載されている地域によって組み立てられる）微分同相又はhomeomorphismsそれぞれ。代数幾何学では、表面は多項式で記述されます。[59]

マニホールド

マニホールドは、曲線と表面の概念を一般化したものです。では、トポロジ、マニホールドは、位相空間のすべての点があり近辺で同相ユークリッド空間へと。[50]で微分幾何学、微分マニホールドは、各近傍が空間である微分同相ユークリッド空間へ。[58]

マニホールドは、一般相対性理論や弦理論など、物理学で広く使用されています。[61]

長さ、面積、体積

長さ、面積、および体積は、それぞれ1次元、2次元、および3次元でのオブジェクトのサイズまたは範囲を表します。[62]

ユークリッド幾何学と解析幾何学、線分の長さは、多くの場合で算出することができるピタゴラス定理。[63]

面積と体積は、長さとは別の基本量として定義することも、平面または3次元空間の長さで記述および計算することもできます。[62]数学は多くの明示的な発見した領域の式とボリュームの式を様々な幾何学的オブジェクトの。で結石、面積及び体積がに関して定義することができる積分など、リーマン積分[64]またはルベーグ積分。[65]

指標と対策

紀元前500〜200年の周髀算のように、（ 3、4、5）三角形のピタゴラス定理を 視覚的に確認し ます。ピタゴラスの定理は、ユークリッド距離の結果です 。

長さまたは距離の概念は一般化でき、メトリックの概念につながります。[66]たとえば、ユークリッドメトリックはユークリッド平面内のポイント間の距離を測定し、双曲メトリックは双曲平面内の距離を測定します。メトリックの他の重要な例としては、ローレンツメトリックの特殊相対性理論と半リーマンメトリックの一般相対性理論を。[67]

別の方向では、長さ、面積、体積の概念は、測度論によって拡張されます。測度論は、サイズまたは測度を集合に割り当てる方法を研究します。測度は、古典的な面積と体積の規則と同様の規則に従います。[68]

合同と類似性

合同と類似性は、2つの形状が類似した特性を持つ場合を説明する概念です。[69]ユークリッド幾何学では、類似性は同じ形状のオブジェクトを説明するために使用され、合同はサイズと形状の両方が同じオブジェクトを説明するために使用されます。[70] ヒルベルトは、幾何学のためのより厳密な基盤を作成することに関する彼の研究において、合同を、その特性が公理によって定義される未定義の用語として扱った。

合同と類似性は、さまざまな種類の変換によって保持される幾何学的オブジェクトのプロパティを研究する変換幾何学で一般化されます。[71]

コンパスと直定規の構造

古典的な幾何学は、他の方法で記述された幾何学的オブジェクトの構築に特別な注意を払いました。古典的に、幾何学的構造で許可されている楽器は、コンパスと直定規だけです。また、すべての建設は有限のステップ数で完了する必要がありました。しかし、これらの手段だけでは解決が困難または不可能な問題もあり、放物線などの曲線や機械装置を使った独創的な構造が発見されました。

寸法

コッホ曲線と、 フラクタル次元= log4 / LOG3及び トポロジカル寸法= 1

従来の幾何学では次元1（線）、2（平面）、3（3次元空間として考えられている周囲の世界）が許可されていましたが、数学者や物理学者は2世紀近くにわたってより高い次元を使用してきました。[72]高次元の数学的使用の一例は、システムの自由度に等しい次元を持つ物理システムの構成空間です。たとえば、ネジの構成は5つの座標で表すことができます。[73]

一般的なトポロジー、寸法の概念から拡張された自然数無限次元に、（ヒルベルト空間など）と正の実数（中フラクタル幾何学）。[74]では、代数幾何、代数多様の寸法は、すべての最も一般的なケースで同等で明らかに異なる定義の数を受けています。[75]

対称

タイリングの 双曲面

幾何学の対称性のテーマは、幾何学自体の科学とほぼ同じくらい古いものです。[76]対称のような形状、円、正多角形と正多面体は、多くの古代哲学に深い意義を開催[77]とユークリッドの時間の前に詳細に調査しました。[40]対称的なパターンは自然界に存在し、レオナルド・ダ・ヴィンチ、MCエッシャーなどのグラフィックを含む、さまざまな形で芸術的に表現されました。[78] 19世紀の後半、対称性と幾何学の関係は厳しく監視された。フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムは、変換の概念を介して発現、非常に正確な意味では、対称で、それを宣言したグループ、ジオメトリが決まりです。[79]対称に古典的なユークリッド幾何学に表される合同で、一方、剛性運動射影幾何類似の役割をすることによって再生されcollineations、幾何学的変換直線に直線を取ります。[80]しかし、ボリヤイとロバチェフスキー、リーマン、クリフォードとクライン、ソフス・リーの新しい幾何学において、「対称群を介して幾何学を定義する」というクラインのアイデアがそのインスピレーションを見出しました。[81]離散対称性と連続対称性の両方が幾何学で重要な役割を果たし、前者はトポロジーと幾何学的群論で、[82] [83]後者はリー理論とリーマン幾何学で重要な役割を果たします。[84] [85]

異なるタイプの対称性は、他の分野の中でも、射影幾何学における双対の原理です。任意に以下のようにこのメタ現象は、大まかに説明することができる定理、交換点と平面、参加と出会う、に位置して含有し、その結果は等しく真の定理です。[86]ベクトル空間とその双対空間の間には、類似した密接に関連した双対の形が存在します。[87]

現代の幾何学

ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学は、古典的な意味での幾何学です。[88]物理世界の空間をモデル化するため、力学、天文学、結晶学などの多くの科学分野[89]や、工学、[90] 建築、[91] 測地学などの多くの技術分野で使用されます。、[92] 空気力学、[93]およびナビゲーション。[94]大多数の国の必須の教育カリキュラムには、点、線、平面、角度、三角形、合同三角形、類似性、立体図形、円、解析幾何学などのユークリッド概念の研究が含まれています。[36]

微分幾何学

微分幾何学は、微積分学のツールを使用して 、曲率に関連する問題を研究します。

微分幾何学は、微積分と線形代数の手法を使用して、幾何学の問題を研究します。[95]物理学、[96] 計量経済学、[97]およびバイオインフォマティクス、[98]などに応用されています。

特に、微分幾何学は、宇宙が湾曲しているというアルバート・アインシュタインの一般相対性理論の仮定のために、数理物理学にとって重要です。[99]微分幾何学は、内因性（それが考える空間が滑らかな多様体であり、その幾何学的構造が各点の近くで距離を測定する方法を決定するリーマン多様体によって支配されることを意味する）または外因性（調査中のオブジェクトが一部である場合）のいずれかです。いくつかの周囲の平らなユークリッド空間の）。[100]

非ユークリッド幾何学

研究された幾何学の歴史的形態はユークリッド幾何学だけではありませんでした。球面幾何学は、天文学者、占星術師、およびナビゲーターによって長い間使用されてきました。[101]

イマヌエル・カントは、絶対幾何学は1つしかないと主張しました。これは、内なる精神学部によって先験的に真であることが知られています。ユークリッド幾何学は先験的に合成されたものです。[102]この見解は、最初はサッケーリのような思想家によって幾分挑戦され、その後、ボリヤイ、ロバチェフスキー、ガウス（彼の理論を発表したことはない）の作品における非ユークリッド幾何学の革命的な発見によって最終的に覆された。[103]彼らは、通常のユークリッド空間が幾何学の発展のための唯一の可能性であることを示した。その後、幾何学の主題に関する幅広いビジョンが、リーマンの1867年の就任式講演で、彼の死後にのみ発表された、Geometrie zu Grunde liegen（幾何学の基礎となる仮説について）[104]で表現されました。リーマンの新しい空間観は、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論において決定的に重要であることが証明されました。長さの概念が定義されている非常に一般的な空間を考慮したリーマン幾何学は、現代の幾何学の主力です。[81]

トポロジー

三葉結び目の肥厚

トポロジーは、連続マッピングの特性に関係する分野であり[105]、ユークリッド幾何学の一般化と見なすことができます。[106]実際には、トポロジーとは、接続性やコンパクト性など、空間の大規模なプロパティを処理することを意味することがよくあります。[50]

20世紀に大規模な発展を遂げたトポロジーの分野は、技術的な意味で、変換が同相写像である一種の変換幾何学です。[107]これは、「トポロジーはゴムシートの幾何学である」ということわざの形で表現されることがよくあります。トポロジーのサブフィールドには、幾何学的トポロジー、微分トポロジー、代数的トポロジー、および一般的なトポロジーが含まれます。[108]

代数幾何学

クインティック カラビ・ヤウ3倍

分野代数幾何学は、から開発されたデカルトジオメトリの座標。[109]射影幾何学、双有理幾何学、代数多様体、可換環論などの作成と研究を伴う、周期的な成長期間を経た。[110] 1950年代後半から1970年代半ばにかけて、主にジャン＝ピエール・セールとアレクサンドル・グロタンディークの業績により、主要な基礎的開発が行われた。[110]これにより、スキームが導入され、さまざまなコホモロジー理論を含む位相幾何学的手法がより重視されるようになりました。ミレニアム賞の7つの問題の1つであるホッジ予想は、代数幾何学の問題です。[111]ワイルズによるフェルマーの最後の定理の証明は、数論の長年の問題を解決するために代数幾何学の高度な方法を使用しています。

一般に、代数幾何学は、多変量多項式などの可換環論の概念を使用して幾何学を研究します。[112]暗号化[113]や弦理論など、多くの分野で応用されています。[114]

複雑な形状

複素幾何学は、複素平面をモデルにした、または複素平面から生じる幾何学構造の性質を研究します。[115] [116] [117]複素幾何学は、微分幾何学、代数幾何学、およびいくつかの複素変数の分析の交点にあり、弦理論とミラー対称性への応用が見出されています。[118]

複素幾何学は、リーマン面の研究におけるベルンハルト・リーマンの研究において、明確な研究分野として最初に登場しました。[119] [120] [121]リーマンの精神に基づく研究は、1900年代初頭にイタリアの代数幾何学の学校によって行われた。複素幾何学の現代的な扱いは、対象に層の概念を導入し、複素幾何学と代数幾何学の関係を明らかにしたジャンピエールセールの仕事から始まりました。[122] [123]複素幾何学の主な研究対象は、複素多様体、複素代数的変種、複素解析的変種、およびこれらの空間上の正則ベクトル束と連接層です。複素幾何学で研究された空間の特別な例には、リーマン面やカラビ・ヤウ多様体が含まれ、これらの空間は弦理論で使用されます。特に、弦の世界面はリーマン面によってモデル化され、超弦理論は、10次元時空の余分な6次元がカラビ-ヤウ多様体によってモデル化される可能性があると予測しています。

離散幾何学

離散幾何学には、さまざまな球充填の研究が含まれ ます。

離散幾何学は、凸幾何学と密接な関係がある主題です。[124] [125] [126]これは主に、点、線、円などの単純な幾何学的オブジェクトの相対位置の問題に関係しています。例としては、球充填、三角測量、クネーザー-ポールセン予想などの研究があります。[127] [128]これは、組み合わせ論と多くの方法と原理を共有しています。

計算幾何学

計算幾何学は、幾何学的オブジェクトを操作するためのアルゴリズムとその実装を扱います。重要な問題には、歴史的に巡回セールスマン問題、最小全域木、隠線除去、線形計画法が含まれていました。[129]

幾何学の若い分野ですが、コンピュータービジョン、画像処理、コンピューター支援設計、医用画像などで多くの用途があります。[130]

幾何学的群論

2つのジェネレータ aと bの自由群のケイリーグラフ

幾何学的群論は、大規模な幾何学的手法を使用して、有限生成群を研究します。[131]これは、ミレニアム懸賞問題であるポアンカレ予想の証明を含む、グリゴリー・ペレルマンの幾何化予想の証明など、低次元トポロジーと密接に関連しています。[132]

幾何学的群論は、多くの場合、群の幾何学的表現であるケイリーグラフを中心に展開します。その他の重要なトピックには、準等長写像、Gromov双曲群、直角アルティン群が含まれます。[131] [133]

凸幾何学

凸幾何学は、ユークリッド空間とそのより抽象的な類似物の凸形状を調査します。多くの場合、実際の分析と離散数学の手法を使用します。[134]凸解析、最適化、関数解析、および数論における重要なアプリケーションと密接な関係があります。

凸幾何学は古代にまでさかのぼります。[134] アルキメデスは、凸面の最初の既知の正確な定義を与えました。等周問題、凸形状で定期的な概念は、を含め、同様にギリシャ人によって研究されたジーノドーラス。アルキメデス、プラトン、ユークリッド、そして後にケプラーとコクセターはすべて凸ポリトープとその特性を研究しました。19世紀以降、数学者は、高次元のポリトープ、凸体の体積と表面積、ガウス曲率、アルゴリズム、タイリング、格子など、凸数学の他の領域を研究してきました。

アプリケーション

ジオメトリは多くの分野でアプリケーションを見つけました。そのいくつかを以下に説明します。

アート

ブーイナニアマドラサ、フェズ、モロッコ、精巧な幾何学的テッセレーションを形成するゼリージモザイクタイル

数学と芸術はさまざまな方法で関連しています。たとえば、遠近法の理論は、図形のメトリックプロパティだけでなく、幾何学にも多くのことがあることを示しました。遠近法は射影幾何学の起源です。[135]

アーティストは長い間、デザインにおいてプロポーションの概念を使用してきました。ウィトルウィウスは、人物の理想的な比率の複雑な理論を開発しました。[136]これらの概念は、ミケランジェロから現代の漫画家までの芸術家によって使用され、適応されてきました。[137]

黄金比は、当論争の役割を持った特定の割合です。しばしば最も美的に心地よい長さの比率であると主張され、有名な芸術作品に組み込まれているとよく言われますが、最も信頼性が高く明確な例は、この伝説を知っている芸術家によって意図的に作成されました。[138]

タイリング、またはテッセレーションは、歴史を通じて芸術で使用されてきました。イスラム美術は、MCエッシャーの芸術と同様に、テッセレーションを頻繁に使用します。[139]エッシャーの研究も双曲幾何学を利用した。

セザンヌは、すべての画像は球、円錐、円柱から構築できるという理論を発展させました。形の正確なリストは作者によって異なりますが、これは今日でも芸術理論で使用されています。[140] [141]

建築

幾何学は建築において多くの用途があります。実際、幾何学は建築設計の中核にあると言われています。[142] [143]幾何学の建築への応用には、強制遠近法を作成するための射影幾何学の使用、[144]ドームおよび同様のオブジェクトの構築における円錐曲線の使用、[91]テッセレーションの使用、[91]および対称性の使用。[91]

物理

分野天文学、それはの位置マッピングに関連し、特にとして、星や惑星の上天球と天体の動きとの関係を説明するには、歴史を通して幾何学的な問題の重要な供給源として役立ってきました。[145]

一般相対性理論では、リーマン幾何学と擬リーマン幾何学が使用されます。[146]弦理論は、量子情報理論と同様に、幾何学のいくつかの変形を利用します[147]。[148]

数学の他の分野

ピタゴラス教徒は、三角形の辺が通約不可能な長さになる可能性があることを発見しました 。

微積分は幾何学の影響を強く受けました。[30]たとえば、ルネ・デカルトによる座標の導入と代数の同時開発は、平面曲線などの幾何学図形を関数や方程式の形で分析的に表すことができるようになったため、幾何学の新しい段階を示しました。これは、17世紀の微積分の出現に重要な役割を果たしました。解析幾何学は、微積分学と微積分学のカリキュラムの主力であり続けています。[149] [150]

アプリケーションのもう1つの重要な領域は、数論です。[151]で古代ギリシャピタゴラス学派は、幾何学の数字の役割を検討しました。しかし、通約不可能な長さの発見は、彼らの哲学的見解と矛盾していました。[152] 19世紀以来、ジオメトリが通じ例えば、数論の問題を解決するために使用されている数字の形状や、より最近では、スキーム理論で使用される、フェルマーの最終定理のワイルズの証明。[153]

も参照してください

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関連トピック

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  • 有限幾何学
  • Flatlandは、4次元の概念を理解するために、エドウィンアボットアボットが2次元および3次元の空間について書いた本です。
  • インタラクティブジオメトリソフトウェアのリスト

その他のフィールド

  • 分子構造

ノート

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    「3人の科学者、イブン・アル・ハイサム、ハイヤーム、アル・トゥシは、19世紀にのみその重要性が完全に認識されるようになったこの幾何学の分野に最も大きな貢献をしました。本質的に、四角形の特性に関する彼らの提案これらの図の角度のいくつかが鈍角であると仮定して、双曲線幾何学と楕円幾何学の最初のいくつかの定理を具体化したと彼らは考えました。彼らの他の提案は、さまざまな幾何学ステートメントがユークリッドの仮定Vと同等であることを示しました。これらの学者がこの仮定と三角形と四角形の角度の合計との間に相互関係を確立することが重要です。平行線の理論に関する彼らの研究によって、アラブの数学者はヨーロッパの対応者の関連する調査に直接影響を与えました。 13世紀のポーランドの科学者であるウィテロによって作成された平行線上の仮定を証明します。イブン・アル・ハイサムの光学の書（キタブ・アル・マナジル）の改訂は、間違いなくアラビア語の情報源によって促されました。14世紀にフランス南部に住んでいたユダヤ人学者のレヴィ・ベン・ガーソンと、前述のスペインのアルフォンソがイブン・アル・ハイサムのデモに直接接することによって提唱された証拠。上記で、疑似トゥシのユークリッドの博覧会が、J。ウォリスとG.サッケリの平行線理論の研究の両方を刺激したことを示しました。」
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