等角ポリゴン

等角ポリゴンの例
直接	間接	斜め
矩形、<4>は、凸状である直接等角ポリゴン4つの90°の内角を含みます。	この六角形のような凹面の間接等角多角形<6-2>は、反時計回りに、このテトロミノのように5つの左折と1つの右折があります。	スキューポリゴンは、このスキュー八角形の交流は、赤色と青色で縁のように、平面外に等しい角度を有するキューブ。
直接	間接	逆向き
マルチ旋回等角多角形は<8/2>、この八角形のように、直接的であってもよく、720°、合計8つの90°ターンを有します。	凹型の間接等角多角形<5-2>は、反時計回りに4回左折し、1回右折します。（-1.2.4.3.2）_60°	間接等角六角形、<6-6> _90°、左に3回、右に3回、合計0°。

ユークリッド幾何学、等角多角形であるポリゴンその頂点角度等しいです。辺の長さも等しい場合（つまり、正三角形でもある場合）、それは正多角形です。等角多角形は、 2辺の長さを交互等角多角形です。

わかりやすくするために、平面等角多角形は直接または間接と呼ぶことができます。直接等角多角形は平面で同じ方向に旋回すべての角度を有しており、複数含めることができるターン。凸等角多角形は常に直接です。間接的な等角多角形は角が右または任意の組み合わせで左折含めることができます。スキュー等角多角形であってもよい等角、それは非平面であるため、直接考えることはできません。

spirolateral n個の_θは、特殊なケースである等角多角形のセットと、n個の頂点の内角をθと、スタートに戻るまでシーケンスを繰り返し整数エッジの長さ。

建設

この凸面の直接等角六角形<6>は、60°の角度で6本の線で囲まれています。各線は、その方向に対して垂直に移動できます。

この凹型の間接等角六角形<6-2>も、90°の角度で6本の線で囲まれ、各線は独立して移動し、頂点を新しい交点として移動します。

等角多角形から構築することができる正多角形又は正規星型多角形のエッジを無限大として拡張される行。各エッジは、線の方向に対して垂直に個別に移動できます。頂点は、隣接する線のペア間の交点を表します。移動した各線は、そのエッジの長さと2つの隣接するエッジの長さを調整します。^[1]エッジの長さがゼロになるとポリゴンが縮退するか、負の長さにすると内角と外角が逆になります。

内角がθ°の偶数側の直接等角ポリゴンの場合、交互のエッジを移動すると、すべての頂点が補助角度180-θ°に反転する可能性があります。奇数側の直接等角ポリゴンは部分的にしか反転できず、補助的な角度が混在したままになります。

この構造により、すべての等角ポリゴンを比率で調整でき、等角ステータスを維持できます。

等角多角形の定理

Aの凸等角 P -gon、各内角が180（1-2 / IS P °）。これは等角多角形の定理です。

直接等角p / q 星型多角形、密度 qの場合、各内角は180（1-2 q / p）°で、1 <2 q < pです。以下のために、W = GCD（P、Q）> 1、これが表しW -wound（P / W）/（Q / W正規場合に縮重している）、星型多角形を、。

凹状の間接的な等角（のp _R + Pを_Lと）-gon、p個の_R右折頂点とのP _L |（1-2 /左折の頂点が、180の内角がありますのP _R - P _Lは関係なく、°）|）それらのシーケンスの。間接星等角（P _R + P _Lを有する）-gon、p個の_R右折頂点とのp _lはターン頂点と左Q合計巻数を、180の内角（1-2有するであろうQ | / p個の_R -のP _Lを| ））°、シーケンスに関係なく。右折と左折の数が同じである等角多角形は、合計回転数がゼロであり、角度に制約はありません。

表記

すべての直接等角p- gonには、正多角形{ p }や正多角形{ p / q }のように、p個の頂点と密度qの星を含む表記またはを付けることができます。

凸等角p角形の内角は180（1-2 / p）°ですが、直接星等角多角形の内角は180（1-2 q / p）°です。

凹状の間接的な等角のp -gonは<表記を与えることができ、P -2 C >とCカウンタターンの頂点。たとえば、<6-2>は、差の内角が90°の六角形、<4>、1つの逆向きの頂点です。マルチターン間接等辺のp -gonは<表記を与えることができ^{、P -2 、C} / _Q >とCのカウンタターンの頂点、及びQ合計巻数。等角ポリゴンはp個の未定義の内部角度をθと-gon、しかしとして明示的に表現することができる。 _θ。

その他のプロパティ

ヴィヴィアーニの定理は等角多角形にも当てはまります：^[2]

内部の点から等角多角形の側面までの距離の合計は、点の位置に依存せず、その多角形は不変です。

環状多角形は、代替の辺が等しい場合だけ等角である（側面1、3、5である、...等しく、辺2,4、...等しいです）。したがって、nが奇数の場合、正多角形は正多角形である場合に限り等角になります。^[3]

素数pの場合、すべての整数辺の等角p - gonは規則的です。また、すべての等角整数両面Pの^K有する-gon P倍の回転対称性を。^[4]

注文された辺の長さのセット ${\ displaystyle（a_ {1}、\ dots、a_ {n}）}$ 2つの同等の条件のいずれかが多項式に当てはまる場合に限り、等角n角形を生成します。 ${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} x + \ cdots + a_ {n-1} x ^ {n-2} + a_ {n} x ^ {n-1}：}$ 複素数値でゼロに等しい ${\ displaystyle e ^ {2 \ pi i / n};}$ それはで割り切れる ${\ displaystyle x ^ {2} -2x \ cos（2 \ pi / n）+1。}$ ^[5]

辺による直接等角ポリゴン

直接等角多角形は、正多角形、等角多角形、またはそれ以下の対称性にすることができます。の例は、pによってセクションにグループ化され、密度qによってサブグループ化されます。

等角三角形

等角三角形は凸面で、60°の内角を持っている必要があります。それは正三角形と正三角形、<3> = {3}。唯一の自由度はエッジの長さです。

通常、{3}、r ₆

等角四辺形

正方形の2×3配列に解剖された長方形 ^[6]

直接等角四辺形の内角は90°です。等角の四辺形は、長方形<4>と正方形{4}のみです。

整数の辺の長さを持つ等角の四辺形は、単位正方形で並べて表示できます。^[6]

通常、{4}、r ₈
Spirolateral 2 _90°、P ₄

等角五角形

直接等角五角形<5>と<5/2>は、それぞれ108°と36°の内角を持っています。

等角五角形から108°の内角、<5>

等角五角形ができることができ、通常、左右対称、または全く対称性を持っています。

レギュラー、r ₁₀
左右対称、i ₂
対称性なし、₁

等角五芒星からの36°の内角、<5/2>

通常の五芒星、r ₁₀
不規則、d ₂

等角六角形

エッジの長さの比率が1：2で、正三角形のある正六角形。 ^[6]である spirolateral 2 _120°。

直接等角六角形<6>と<6/2>は、それぞれ120°と60°の内角を持っています。

等角六角形の120°内角、<6>

整数の辺の長さを持つ等角六角形は、単位正三角形で並べて表示できます。^[6]

通常、{6}、r ₁₂
スピロラテラル（1,2）_120°、p ₆
スピロラテラル（1…3）_120°、g ₂
スピロラテラル（1,2,2）_120°、i ₄
スピロラテラル（1,2,2,2,1,3）_120°、p ₂

等角の二重巻き三角形の60°の内角、<6/2>

通常、縮退、r ₆
スピロラテラル（1,3）_60°、p ₆
スピロラテラル（1,2）_60°、p ₆
スピロラテラル（2,3）_60°、p ₆
スピロラテラル（1,2,3,4,3,2）_60°、p ₂

等角七角形

直接等角七角形、<7>、<7/2>、および<7/3>は、それぞれ128 4/7°、77 1/7°、および255/7°の内角を持っています。

等角七角形の128.57°内角、<7>

通常、{7}、r ₁₄
不規則、i ₂

等角七芒星の77.14°内角、<7/2>

レギュラー、r ₁₄
不規則、i ₂

等角の25.71°の内角がheptagram、<7/3>

レギュラー、r ₁₄
不規則、i ₂

等角八角形

直接等角八角形、<8>、<8/2>、および<8/3>は、それぞれ135°、90°、および45°の内角を持っています。

等角八角形から135°の内角、<8>

レギュラー、r ₁₆
スピロラテラル（1,2）_135°、p ₈
スピロラテラル（1…4）_135°、g ₂
等しくない切り捨てられた正方形、p ₂

等角の二重巻き正方形からの90°の内角、<8/2>

通常の縮退、r ₈
スピロラテラル（1,2,2,3,3,2,2,1）_90°、d ₂
スピロラテラル（2,1,3,2,2,3,1,2）_90°、d ₂

等角八芒星から45°の内角、<8/3>

レギュラー、r ₁₆
等方性、p ₈
等方性、p ₈
スピロラテラル、（1,2）_45°、p ₈
等方性、p ₈
スピロラテラル（1…4）_45°、g ₂

等角形の九角形

直接等角形の九角形、<9>、<9/2>、<9/3>、および<9/4>の内角は、それぞれ140°、100°、60°、および20°です。

等角形の九角形から140°の内角<9>

レギュラー、r ₁₈
スピロラテラル（1,1,3）_140°、i ₆

等角エニアグラムからの100°の内角、<9/2>

通常の{9/2}、p ₉
スピロラテラル（1,1,5）_100°、i ₆
スピロラテラル3100 _°、g ₃

等角の三重巻き三角形からの60°の内角、<9/3>

通常、縮退、r ₆
不規則、₁
不規則、₁
不規則、₁

等角エニアグラムからの20°の内角、<9/4>

通常の{9/4}、r ₁₈
Spirolateral 3 _20°、G ₃
不規則、i ₂

等角十角形

直接等角十角形、<10>、<10/2>、<10/3>、<10/4>は、それぞれ144°、108°、72°、36°の内角を持っています。

等角十角形から144°の内角 <10>

レギュラー、r ₂₀
スピロラテラル（1,2）_144°、p ₁₀
スピロラテラル（1…5）_144°、g ₂

等角の二重巻き五角形からの108°の内角 <10/2>

定期的、退化
スピロラテラル（1,2）_108°、p ₁₀
不規則、p ₂

等角十芒星から72°の内角 <10/3>

通常{10/3}、r ₂₀
等方性、p ₁₀
スピロラテラル（1,2）_72°、p ₁₀
不規則、私は₄
スピロラテラル（1…5）_72°、g ₂

等角の二重巻き五芒星からの36°の内角 <10/4>

通常、縮退、r ₁₀
スピロラテラル（1,2）_36°、p ₁₀
等方性、p ₁₀
等方性、p ₁₀
不規則、p ₂
不規則、p ₂
不規則、p ₂

等角十一角形

直接等角十一角形、<11>、<11/2>、<11/3>、<11/4>、および<11/5>は、147 3/11°、114 6/11°、819/11°です。、49 1/11°、および164/11°の内角。

等角から147°の内角十一角形、<11>

通常、{11}、r ₂₂

等角の十一芒から114°の内角、<11/2>

通常の{11/2}、r ₂₂

等角の十一芒から81°の内角、<11/3>

通常{11/3}、r ₂₂

等角の十一芒から49°の内角、<11/4>

通常の{11/4}、r ₂₂

等角の十一芒から16°の内角、<11/5>

通常の{11/5}、r ₂₂

等角十二角形

直接等角十二角形、<12>、<12/2>、<12/3>、<12/4>、および<12/5>の内角は、150°、120°、90°、60°、および30°です。それぞれ。

等角十二角形から150°の内角、<12>

整数のエッジ長を持つ凸解は、パターンブロック、正方形、正三角形、および30°のひし形で並べて表示できます。^[6]

通常、{12}、r ₂₄
等方性、p ₁₂
スピロラテラル（1,2）_150°、p ₁₂
スピロラテラル（1…3）_150°、g ₄
スピロラテラル（1…4）_150°、g ₃
スピロラテラル（1…6）_150°、g ₂

等角の二重巻き六角形からの120°の内角、<12/2>

通常の縮退、r ₁₂
スピロラテラル、（1…4）_120°、g ₃
不規則、d ₂
不規則、d ₂

等角の三重巻き正方形からの90°の内角、<12/3>

通常、縮退、r ₈
スピロラテラル（1…3）_90°、g ₂
スピロラテラル（2…4）_90°、g ₄
スピロラテラル（1,1,3）_90°、i ₈
スピロラテラル（1,2,2）_90°、i ₈
スピロラテラル（1…6）_90°、g ₂
不規則、₁

等角の四重巻き三角形からの60°の内角、<12/4>

通常、縮退、r ₆
スピロラテラル（1,3,5,1）_60°、p ₆
スピロラテラル（1…4）_60°、g ₃
不規則、₁

等角十二芒図からの30°の内角、<12/5>

通常の{12/5}、r ₂₄
等方性、p ₁₂
スピロラテラル（1,2）_30°、p ₁₂
スピロラテラル（1…3）_30°、g ₄
スピロラテラル（1…4）_30°、g ₃
スピロラテラル（1…6）_30°、g ₂

等角十四角形

直接等角十四角形、<14>、<14/2>、<14/3>、<14/4>、および<14/5>、<14/6>は、154 2/7°、128 4/7 °、102 6/7°、77 1/7°、513/7°および255/7°内角。

等角十四角形からの154.28°の内角、<14>

通常の{14}、r ₂₈
等方性、t {7}、p ₁₄

等角の二重巻き正七角形からの128.57°の内角、<14/2>

通常の縮退、r ₁₄
等方性、t {7/2}、p ₁₄
Spirolateral 2 _128.57°

等角のテトラデカグラムからの102.85°の内角、<14/3>

通常{14/3}、r ₂₈
等方性t {7/3}、p ₁₄

等角ダブル創傷から77.14°の内角がheptagram <14/4>

通常の縮退、r ₁₄
等方性、p ₁₄
等方性、p ₁₄
Spirolateral 2 _77.14°

等角テトラデカグラムからの51.43°の内角、<14/5>

通常の{14/5}、r ₂₈
等方性、p ₁₄
等方性、p ₁₄

等角ダブル創傷から25.71°の内角がheptagram、<6分の14>

通常の縮退、r ₁₄
等方性、p ₁₄
等方性、p ₁₄
等方性、p ₁₄
不規則、d ₂

等角十五角形

直接等角十五角形、<15>、<15/2>、<15/3>、<15/4>、<15/5>、<15/6>、および<15/7>は、156°、132それぞれ°、108°、84°、60°、12°の内角。

等角十五角形から156°の内角、<15>

通常、{15}

等角ペンタデカグラムからの132°の内角、<15/2>

通常、{15/2}

等角の三重巻き五角形からの108°の内角、<15/3>

定期的、退化
スピロラテラル（1…3）_108°

等角ペンタデカグラムから84°の内角、<15/4>

通常、{15/4}

等角の5巻き三角形からの60°の内角、<15/5>

定期的、退化
不規則、

等角の三重巻き五芒星からの36°の内角、<15/6>

定期的、退化
不規則
スピロラテラル（1…4）_36°

等角ペンタデカグラムからの12°の内角、<15/7>

通常、{15/7}

等角十六角形

直接等角十六角形、<16>、<16/2>、<16/3>、<16/4>、<16/5>、<16/6>、および<16/7>は、157.5°、135それぞれ°、112.5°、90°、67.5°45°、22.5°の内角。

等角十六角形からの157.5°の内角、<16>

通常、{16}、r ₃₂
等方性、t {8}、p ₁₆
スピロラテラル（1…4）_157.5°、g ₄

等角の二重巻き八角形からの135°の内角、<16/2>

通常、縮退、r ₁₆
不規則、_16ページ

等角から112.5°の内角 hexadecagram、<16/3>

通常、{16/3}、r ₃₂

等角の4巻きの正方形からの90°の内角、<16/4>

通常、縮退、r ₁₆
不規則

等角から67.5°の内角 hexadecagram、<16/5>

通常、{16/5}、r ₃₂

等角の二重巻きの通常の八芒星からの45°の内角、<16/6>

通常、縮退、r ₃₂
スピロラテラル（1…3）_45°、g ₈

等角から22.5°の内角 hexadecagram、<7分の16>

通常、{16/7}、r ₃₂
等方性、p ₁₆

等角十八角形

直接等角十八角形、<18}、<18/2>、<18/3>、<18/4>、<18/5>、<18/6>、<18/7>、および<18/8> 、内角はそれぞれ160°、140°、120°、100°、80°、60°、40°、20°です。

等角十八角形から160°の内角、<18>

通常、{18}、r ₃₆
等方性、t {9}、p ₁₈

等角二重巻きから140°の内角 enneagon、<18/2>

定期的、退化
Spirolateral 2 _140℃に、p ₁₈

等角3巻き六角形の120°内角<18/3>

定期的、退化
不規則

等角の二重巻きエニアグラムの100°内角 <18/4>

定期的、退化
Spirolateral 2 _100℃、G ₃

等角オクタデカグラムの80°内角 {18/5}

通常、{18/5}、r ₃₆

等角の6巻き三角形の60°内角<18/6>

定期的、退化
不規則

等角オクタデカグラムの40°内角 <18/7>

通常、{18/7}、r ₃₆
等方性、p ₁₈
等方性、p ₁₈
等方性、p ₁₈

等角の二重巻きエニアグラムの20°の内角 <18/8>

定期的、退化
等方性、p ₁₈
等方性、p ₁₈
等方性、p ₁₈
等方性、p ₁₈
Spirolateral 2 _20°、P ₁₈
スピロラテラル620 _°、g ₃

等角二十角形

直接等角二十角形、<20>、<20/3>、<20/4>、<20/5>、<20/6>、<20/7>、および<20/9>は、162°、126それぞれ°、108°、90°、72°、54°、18°の内角。

等角二十角形からの162°の内角、<20>

通常、{20}、r ₄₀
スピロラテラル（1,3）_162°、p ₂₀

等角の二重巻き十角形からの144°の内角、<20/2>

通常、縮退、r ₁₀
スピロラテラル（1…4）_144°、g ₅

等角アイコサグラムからの126°の内角、<20/3>

通常{20/3}、p ₄₀
スピロラテラル（1,3）_126°、p ₂₀

等角の4巻き五角形から108°の内角、<20/4>

通常の縮退、r ₄₀
スピロラテラル（1…4）_108°、g ₅
不規則、₁

等角の5巻きの正方形からの90°の内角、<20/5>

通常の縮退、r ₄₀
スピロラテラル（1…5）_90°、g ₄
スピロラテラル（1,2,3,2,1）_90°、i ₈

等角ダブル創傷から72°の内角 decagram、<20/6>

通常の縮退、r ₂₀
スピロラテラル（1,2）_72°、p ₁₀
スピロラテラル（1…4）_72°、g ₅

等角アイコサグラムからの54°の内角、<20/7>

通常の{20/7}、r ₄₀
等方性、p ₂₀
等方性、p ₂₀
等方性、p ₂₀

等角の四重巻き五芒星からの36°の内角、<20/8>

通常の縮退、r ₁₀
スピロラテラル（1…4）_36°、g ₅
不規則、₁

等角のイコサグラムからの18°の内角、<20/9>

通常の{20/9}、r ₄₀
等方性、p ₂₀
等方性、p ₂₀
等方性、p ₂₀
等方性、p ₂₀

も参照してください

スピロラテラル

参考文献

^ Marius Munteanu、Laura Munteanu、 Rational Equiangular Polygons Applied Mathematics、Vol.4 No.10、2013年10月
^ 「ヴィヴィアーニの定理とその拡張機能の」エリアスAbboud頁。2、11
^ De Villiers、Michael、「等角環状および等辺外接多角形」、 Mathematical Gazette 95、2011年3月、102-107。
^ マクリーン、K。ロビン。「等角ポリゴン用の強力な代数ツール」、 Mathematical Gazette 88、2004年11月、513-514。
^ M.Bras-Amorós、M。Pujol：「等角多角形の辺の長さ（コーディング理論家から見たもの）」、 The American Mathematical Monthly、vol。122、n。5頁476から478まで、月2015 ISSN 0002から9890まで。
^ a b c d e Ball、Derek（2002）、「等角ポリゴン」、The Mathematical Gazette、86（507）：396–407、JSTOR 3621131。

ウィリアムズ、R。自然構造の幾何学的基盤：デザインのソースブック。ニューヨーク：ドーバー出版、1979年。p。32

外部リンク

等角多角形の性質：それは何についてですか？カット・ザ・ノットでのヴィヴィアーニの定理の議論。
ワイスタイン、エリックW. 「等角多角形」。MathWorld。

[1] Marius Munteanu、Laura Munteanu、 Rational Equiangular Polygons Applied Mathematics、Vol.4 No.10、2013年10月

[ref1-2] 「ヴィヴィアーニの定理とその拡張機能の」エリアスAbboud頁。2、11

[3] De Villiers、Michael、「等角環状および等辺外接多角形」、 Mathematical Gazette 95、2011年3月、102-107。

[4] マクリーン、K。ロビン。「等角ポリゴン用の強力な代数ツール」、 Mathematical Gazette 88、2004年11月、513-514。

[5] M.Bras-Amorós、M。Pujol：「等角多角形の辺の長さ（コーディング理論家から見たもの）」、 The American Mathematical Monthly、vol。122、n。5頁476から478まで、月2015 ISSN 0002から9890まで。

[ball-6] Ball、Derek（2002）、「等角ポリゴン」、The Mathematical Gazette、86（507）：396–407、JSTOR 3621131。

[1]